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Kap. VII. Theorie der ebenen Kurven 
lim (y — gx — li) = lim x(y' — g). 
Die Grenzlage (5) der Tangente ist demnach in der Tat eine 
Asymptote, sobald x{y — g) den Grenzwert Null hat. Nun ist: 
x 
l 
*(y'-9) 
V —9 
Nach der ersten Formel (6) streben Zähler und Nenner rechter- 
hand für lim x =«= oo nach Unendlich. Daher gibt Satz 27, 
Nr. 130, indem man Zähler und Nenner für sich differenziert, 
vorausgesetzt, daß y = f{x) eine Ableitung ziveiter Ordnung hat: 
lim x(if — g) = lim jr- 
£ = QO X = 00 “ 
(y — g) 
y 
X = oo 
Da y—g nach (6) den Grenzwert Null hat, wird also der 
Grenzwert von x(y' — g) in der Tat gleich Null, sobald 
lim y" 4= 0 ist. Im Falle lim y" = 0 dagegen steht die Ent 
scheidung noch aus. — 
Wenn y = fix) insbesondere für lim x = <x> nicht eben 
falls unendlich groß wird, sondern einen bestimmten end 
lichen Grenzwert h hat, ist die zur .r-Achse parallele Gerade 
1) = h augenscheinlich eine Asymptote, weil der Kurvenpunkt 
(x, y) von ihr den Abstand y — h hat, dessen Grenzwert gleich 
Null ist. 
Wenn umgekehrt die Tangente (4) für lim x = oo eine zur 
Æ-Achse parallele Grenzlage t) = h hat, also 
(7) lim y = 0, lim (iy — xy) = h 
ist, wird: 
(8) lim y = lim (y — xy) + lim xy = h + lim xy. 
X = 00 
X = 00 
Nun strebt in xy' der zweite Faktor wegen der ersten Formel (7) 
für lim x = (x> nach Null. Wir berechnen daher den Grenz 
wert auf Grund von Satz 27, Nr. 130, wieder unter der Voraus 
setzung, daß y = f(x) eine Ableitung zweiter Ordnung hat, in 
der Form: 
lim xy' = lim ~ = lim —= — lim Kr • 
T* — _ 7/ 
y 
X — 00 
y 
Er ist nach der ersten Formel (7) augenscheinlich gleich Null, 
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