§ 1. Kurve, Tangenten und Normalen 
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falls lim y" + 0 ist. Infolge von (8) strebt dann y nach h, und 
die Grenzlage t) = h der Tangente ist eine Asymptote. Im Falle 
lim y" = 0 dagegen steht die Entscheidung noch aus. 
Wir fassen die Ergebnisse zusammen in dem 
Satz 2: Wenn sich der durch y = f(x) definierte Kurven- 
ziveig ins Unendliche erstreckt, indem x entweder bis + oo oder 
bis — oo gehen darf, und die Funldion y = f(x) nicht nur eine 
Ableitung erster, sondern auch eine Ableitung zweiter Ordnung hat, 
und wenn der Tangente des Kurvenpunktes (x, y) für lim x = + oo 
eine bestimmte Grenzlage zukommt, ist diese Grenzlage zugleich 
eine Asymptote, sobald der Grenzivcrt der Ableitung zweiter Ord 
nung y" für lim #= + 00 von Null verschieden ist. 
Den Ausnahmefall, wo lim y" = 0 wird, wollen wir nicht 
weiter untersuchen. Er liegt z. B. für lim x = + oo bei der Kurve 
sinæ 
y = Nc~ 
vor, da hier 
,, —æ 2 sinæ—2 x cos x -f- 2 sin x 
y = ^ 
ist. Für lim x = -F oo hat die Tangente (4) dieser Kurve keine 
bestimmte Grenzlage, denn es wird zwar 
lim y = lim ( 1 = 0, 
x= + x> »= + OC ' x ' 
aber der Grenzwert 
lim (y — xy) = — lim cos x 
x= + co æ = + cc 
bleibt unbestimmt, weil cos x, wie groß auch x werden mag, 
immer noch alle Werte zwischen — 1 und -)- 1 annehmen kann. 
Also gibt es für lim x = + oo keine bestimmte Grenzlage der 
Tangente (ebenso wenig übrigens für lim x = — oo). Dennoch 
hat die Kurve eine Asymptote, denn die Bedingungen des 
Satzes 1 sind erfüllt, weil 
lim —— = lim = 0, also /7 = 0 
*= + » * æ=+œ ^ 
und daher 
lim \f(x) — gx\ = lim = 0, also h = 0 
X= + OO + co 
ist, so daß die Abszissenachse y = 0 eine Asymptote ist (übrigens 
ergibt sie sich auch für lim x — — oo). 
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