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Kap. VII. Theorie der ebenen Kurven 
172. Art und Ordnung 1 der Berührung zwischen 
Kurve und Tangente. Wir betrachten eine bestimmte 
Stelle M oder (x, y) einer Kurve y = f(x). Es sei t die Tan 
gente und P der Fußpunkt der Ordinate von M, siebe Fig. 26. 
Ferner sei der zu x -f- h gehörige Kur 
venpunkt mit M t und der zugehörige 
Fußpunkt mit Pj bezeichnet, so daß 
PPj den Wert h hat. Die Ordinate 
von M ist y = f(x), die von M x ist 
Di = f( x + h) • Eie Tangente t treffe 
die Gerade P 1 M l in N x . Der Punkt N x 
der Tangente hat dieselbe Abszisse x -f- li wie der Punkt M x 
der Kurve, aber seine Ordinate rj x ist eine andere. Aus der 
Gleichung (3) der Tangente in Nr. 169, worin £ = x-{-h und 
= zu setzen ist, folgt % = y + yh = f(x) -\-f(x)h, so daß 
(1) Vi-Vi— f( x + h ) — f( x ) — f ( x )h 
die Differenz der Ordinaten von M x und N x vorstellt. Wenn 
nun die Funktion f nebst einer Anzahl von Ableitungen f, f",. . . 
für alle Werte der unabhängigen Veränderlichen von x bis x 4- h 
bestimmte endliche Werte hat, können wir fix -f- h) nach Satz 19 
von Nr. 112 als eine begrenzte Reihe mit Restglied nach Po 
tenzen von li entwickeln. Nach (1) stellt sich dann y x — ^ 
so dar: 
(2) *, ■- % - f (*) i|+r «r! +• • •+(S+*+.. 
WO 
(3) ^ +s -/(” + »( a!+ ÖÄ) ( -^l 
ist und 0 eine gewisse Zahl zwischen 0 und 1 bedeutet. Wir 
haben hierbei vorausgesetzt, daß die Funktion f nebst allen 
Ableitungen bis zur fn -f- 2) ten im Intervalle von x bis x + h 
bestimmte endliche Werte habe. Die Formel (2) lehrt, daß 
lim (y x — 7jf) — 0 für lim h — 0 ist, was ja auch geometrisch 
einleuchtet. Sie zeigt aber noch mehr: Um sogleich den 
denkbar allgemeinsten Fall zu besprechen, wollen wir an 
nehmen, daß an der betrachteten Stelle x unter alten Differential 
quotienten von f{x) von der zweiten Ordnung an der erste, der 
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