§ 1. Kurve, Tangenten und Normalen 299 
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nicht gleich Null ist, die (n -j- l) te Ordnung habe. Es sei also 
an der betrachteten Stelle: 
(4) f'(x) = 0, f'"(x) = 0, . . . fW(x) = 0, aber f( n + 1 \x) + 0. 
Dann gibt (2): 
(5) Vt-Vi- Z < * +1) W'5^I + •».+>• 
Hiernach und nach (3) kommt: 
(6) 
lim 
Ä = 0 
Vx —Vi 
h n + 1 
f n + 1 M 
(w+1)! 
+ 0, 
d. h. nach Nr. 127: Die Ordinatendifferenz y t — rj i von Kurve 
und Tangente verschwindet mit h in der Ordnung n -J- 1. 
Das Lot von M t auf die Tangente t habe den Fuß 
punkt Q t . Ist x der Winkel der Tangente t mit der posi 
tiven zc-Achse, gemessen in dem in Nr. 169 angegebenen 
Sinne, so kommt nach (1) in Nr. 169: 
(7) QM-NM cos* = ^*, 
wo die Wurzel positiv genommen werden soll. Wir rechnen 
also Q 1 M 1 positiv, wenn Q t und M t so aufeinander folgen, ivie 
es dem positiven Sinne der Normale n von M entspricht (vgl. 
Nr. 169). Nach (6) wird nun: 
lim 
h = o 
QxM, 
h n + l 
1 
i/i+7 2 
f {n + 1 \x) 
fn-\r 1)! 
+ 0. 
Also verschwindet der Abstand des Kurvenpunktes M i von der 
Tangente des Punktes M mit der Abszissendifferenz h von M 1 
und M in der Ordnung «-fl. 
Die Zahl n heißt die Ordnung der Berührung von Kurve 
und Tangente. Im allgemeinen wird die Berührung von der 
ersten Ordnung, d. h. n = 1 sein. Denn sonst müßte ja über 
all auch f"{x) = 0, also f(x) = konst. sein, so daß die Kurve 
eine gerade Linie wäre. Daher können Kurven stellen, an 
denen die Berührung von höherer als erster Ordnung ist, nur 
vereinzelt auftreten. 
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