300 
Kap. VII. Theorie der ebenen Kurven 
Wenn die Berührung von n ter Ordnung ist, also die An 
nahmen (4) erfüllt sind, folgt aus (5) wegen des Satzes 22 von 
Nr. 115, daß, wenn \h\ hinreichend klein gewählt wird, die 
Differenz y x — dasselbe Vorzeichen wie f( n + 1 \x)h n + l hat. 
Dies Vorzeichen ändert sich mit dem von h, sobald n ge 
rade ist, dagegen nicht, sobald n ungerade ist. Im ersten 
Kalle also liegen die zu 71/ benachbarten Punkte der Kurve 
auf verschiedenen Seiten der Tangente von 71/, nämlich die 
vor 71/ liegenden Punkte auf der einen, die auf M folgenden 
auf der anderen Seite der Tangente. Im zweiten Falle da 
gegen liegen sie sämtlich auf derselben Seite der Tangente. 
Wir haben also gefunden: 
Satz 3: Eine nicht geradlinige Kurve y = f(x) wird von 
der Tangente eines Punktes M im allgemeinen in erster Ordnung 
berührt, d. h. diejenigen Stellen 71/, an denen die Berührung von 
höherer als erster Ordnung ist, können nicht einen Zweig der 
Kurve vollständig erfüllen. Wird die Kurve von der Tangente 
des Punktes M oder (x, y) in der n ten Ordnung berührt, sind 
also für den betrachteten Punkt f"(x), f'"{x), . . . fl n \x) gleich 
Null, während f <Jl + ^(x) =)= 0 ist, und ist die Funktion f(x) nebst 
ihren Ableitungen bis zur (n -f 2) ten Ordnung in einer Umgebung 
des betrachteten Wertes x bestimmt und endlich, so wird der Ab 
stand jener Tangente von einem Kurvenpunkte, dessen Abszisse 
x + h ist, mit h gleich Null in der Ordnung. n -f-1. T)ic 
Kurve durchsetzt die Tangente in 71/, wenn die Ordnung n der 
Berührung gerade ist. Andernfalls liegen die zu M hinreichend 
benachbarten Kurvenpunkte sämtlich auf derselben Seite der 
Tangente von M. 
Ist die Ordnung n der Berührung gerade, so verläuft 
also die Kurve in der Umgebung der Stelle 71/ ungefähr so, 
wie es in Fig. 27 dargestellt wird. Man nennt 
solche Stellen der Kurve eigentliche Wende- oder 
Inflexionspunkte. Die erste notwendige Bedin 
gung für einen derartigen Punkt ist f"(x) = 0. 
Wenn f"{x) verschwindet, aber f"{x) nicht, 
liegt wirklich ein derartiger Punkt vor. Ist jedoch überdies 
f" r (x) — 0, so liegt keiner vor, wenn f 1Y (x)=(=0 ist, usw. Man 
sagt aber auch, daß die Kurve an der Stelle x einen Wendepunkt 
172] 
Fig. 27.