§ 1. Kurve, Tangenten und Normalen 
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Fig. 28. 
habe ; sobald nur die erste Bedingung f"{x) = 0 erfüllt wird. 
Dann ist der Funkt jedoch ein uneigentlicher Wendepunkt, wenn 
f'"{x) = 0 und f 1Y (x) =(= 0 oder wenn f'"(x) = 0, f 1Y (x) = 0, 
f Y (x) — 0 und f Y1 {x) =j= 0 usw. ist. 
173. Konkavität und Konvexität der Kurve. Man 
sagt, daß eine Kurve in einem ihrer Punkte M einer Ge 
raden g, die nicht durch M geht, ihre konkave Seite zu 
wende, wenn sie in einer hinreichend kleinen Umgebung von 
M vollständig innerhalb des spitzen Win 
kels verläuft, den die Tangente von M 
mit der Geraden g bildet; verläuft sie da 
gegen dort vollständig außerhalb dieses 
spitzen Winkels, so sagt man, daß sie der 
Geraden g in M ihre konvexe Seite zuwende, siehe Fig. 28, in 
der die Kurve in M 1 konkav, in M 2 konvex gegen g ist. 
Wir wollen feststellen, unter welchen Bedingungen die Kurve 
y = f(x) insbesondere der x-Achse im Punkte M oder (x, y) 
die eine oder andere Seite zuwendet. 
Zu diesem Zwecke benutzen wir die Formel (7) der 
vorigen Nummer. Wenn man bedenkt, 
in welchem Sinne die Tangente und Nor 
male des Punktes M nach Nr. 169 positiv 
sind, so lehren die in Fig. 29 ange 
gebenen Möglichkeiten, daß die Kurve 
der rr-Achse ihre konvexe Seite zuwendet, 
wenn Q 1 M l im Falle y> 0 positiv und 
im Falle v/<0 negativ ist, wenn also 
y . Q 1 M 1 > 0 oder y(y x — r h ) > 0 ist. 
Machen wir wieder an der betrachteten Stelle die Annahmen 
f'\x) = 0, fix) = 0, . . . f( n \x) = 0, aber f {n+1 \x) =J= 0, 
so wendet also die Kurve nach (5) in voriger Nummer und 
wegen des Satzes 22 von Nr. 115 der x-Achse ihre konvexe 
Seite zu, sobald 
yf ( - ,l + 1 )(x)h n + 1 > 0 
wird. Natürlich ist dabei y =f= 0 anzunehmen. Diese Bedingung 
kann im Falle einer Berührung von gerader Ordnung nicht 
[172, 173 
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Fig. 29. 
y <0 /Qi 
M ± 
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