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Kap. VII. Theorie der ebenen Kurven 
zugleich für positive und negative Werte von h erfüllt sein, 
was ja auch geometrisch einleuchtet. Im Falle einer Berüh 
rung von ungerader Ordnung ist h n+i stets positiv, d. h.: 
Satz 4: Eine Kurve y = f(x) wendet in einem nicht auf 
der x-Achse gelegenen Punkte (x, y) dieser Achse nur dann ihre 
konvexe oder konkave Seite zu, ivenn sie von ihrer Tangente dort 
in ungerader Ordnung berührt wird. Ist diese Ordnung gleich n, 
so ist die Kurve in bezug auf die x-Achse dort konvex oder 
konkav, je nachdem yy^ + ^ einen positiven oder negativen Wert hat. 
Insbesondere: 
Satz 5: Eine Kurve y = f(x) ist an einer nicht auf der 
x-Achse gelegenen Stelle, an der sie von ihrer Tangente in der 
ersten Ordnung berührt wird, gegenüber der x-Achse konvex oder 
konkav, je nachdem dort yy" einen positiven oder negativen 
Wert hat. 
Denken wir uns eine Gerade g, die zuerst auf der z-Achse 
liegt, nach unten, d. h. nach der negativen y-Achse hin immer 
weiter verschoben, so kommen wir zu dem Begriffe der Kon 
vexität oder Konkavität der Kurve gegenüber ihrer Betrachtung 
von unten her. Die Bedingungen dafür sind dieselben, die sich 
für die Konvexität oder Konkavität gegenüber der a;-Achse er 
geben, sobald M oberhalb der &’-Achse liegt, also y positiv ist. 
Daraus folgt: 
Satz 6: Eine Kurve y = f(x) ist an eitler Stelle, an der 
sie von ihrer Tangente in der n teH Ordnung berührt wird, von 
unten gesehen konvex oder konkav nur im Falle einer ungeraden 
Ordnung, und zwar ist sie alsdann konvex oder konkav, je nach 
dem an der betrachteten Stelle y( ,, + 1 '> einen positiven oder nega 
tiven Wert hat. 
174. Beispiele. 1. Beispiel: Bei der Sinuslinie y =*= sin x, 
siehe Fig. 4, S. 16, ist y’ = cos x, y" = — sin x, also yy" = 
= — sin 3 x < 0, so daß sie der z-Achse stets ihre konkave 
Seite zuwendet. Soll ein Kurvenpunkt ein Wendepunkt sein, 
so muß y" — 0, d. h. x = kn sein, wo k eine ganze Zahl be 
deutet. Dann ist y = sin x = 0 und y" = — cos x H= 0. Also 
sind alle Schnittpunkte der Sinuslinie mit der x-Achse eigent 
liche Wendepunkte, und in ihnen tritt Berührung in zweiter 
Ordnung ein. Sonst gibt es keine Wendepunkte. 
173, 174]