§ 2. Homogene Koordinaten 
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2. Beispiel: Bei der Tangenslinie y = tg x, siehe Fig. 5, 
S. 16, ist y = 1 : cos 2 x, y" = 2 tg x : cos 2 x, also yy" > 0. Sie 
wendet daher der x-Achse überall ihre konvexe Seite zu. Nur 
für die Schnittpunkte x — Jen der Kurve mit der ic-Achse ver 
schwindet y", und diese Punkte sind eigentliche Wendepunkte 
mit Berührung in zweiter Ordnung. 
3. Beispiel: Bei der Ellipse 
-^1 = 1 
a* ^ b* 
ist: 
i , !/!/' = n _L 
cP r b- ’ a~ 
y , yy 
6- ' ö- 
= 0, 
also yy" <k 0, sie wendet daher der £-Achse überall ihre kon 
kave Seite zu. Nirgends ist y" = 0. Die Kurve wird also 
überall von ihren Tangenten in der ersten Ordnung berührt. 
o o 
§ 2. Homogene Koordinaten. 
17S. Kurven und ihre Tangenten in homogenen 
Koordinaten. Wir wollen die rechtwinkligen Koordinaten 
x, y eines Punktes M durch Verhältnisse x x : x 3 und x 2 : x 3 
ersetzen, also statt der beiden Veränderlichen x, y ihrer drei 
x x ,x 2 , x 3 einführen. Eine von ihnen ist überzählig; wir können 
z. B. x., = 1 wählen und dadurch zu den alten Koordinaten x, y 
zurückkommen, die dann nur anders bezeichnet sind, nämlich 
mit x x , x 2 . Diese Annahme soll jedoch nicht gemacht werden. 
Wir führen vielmehr mit voller Absicht statt der beiden Ver 
änderlichen x, y ihrer drei x x , x 2 , x 3 ein, von denen also nur 
die Verhältnisse x x : x 3 und x<>: x 3 für die geometrische Deu 
tung in der Ebene in Betracht kommen. Alsdann sind x x , 
x 2 , x 3 und tx x , tx 2 , tx 3 Bestimmungsstücke eines und desselben 
Punktes der Ebene, wie auch der Faktor t gewählt sein mag. 
Wir bezeichnen diesen Punkt als den Punkt (x x : x 2 : x 3 ), um 
anzudeuten, daß nur die Verhältnisse der drei Veränderlichen 
von Belang sind. Die drei Veränderlichen ? OCs) y heißen 
homogene Punktkoordinaten in der Ebene. 
Der Rückweg von den homogenen Koordinaten zu den 
gewöhnlichen ist leicht auszuführen: Man ersetzt einfach x t1 x 2 
und x 3 durch x, y und 1. 
[174, 175