§ 2. Homogene Koordinaten 
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Zu jedem Wertsystem x x , x 2 , x 3 gehört zwar ein Punkt 
der Ebene, vorausgesetzt, daß man auch unendlich ferne Punkte 
zuläßt, für die x 3 = 0 wird; aber eine Ausnahme ist doch zu 
machen, nämlich zu dem Wertsystem 0, 0, 0 gehört kein 
Punkt der Ebene. Das Wertsystem 0, 0, 0 ist vielmehr hei homo 
genen Koordinaten sinnlos. Der Anfangspunkt ist in homo 
genen Koordinaten der Punkt (0:0:1), der unendlich ferne 
Punkt der x-Achse der Punkt (1:0:0) und der unendlich 
ferne Punkt der «/-Achse der Punkt (0:1:0). Wollen wir 
von jenem obenerwähnten Axiom der projektiven Geometrie 
über die unendlich fernen Punkte keinen Gebrauch machen, 
so haben wir uns auf Punkte (x x : x 2 : x 3 ) zu beschränken, deren 
dritte homogene Koordinate =f= 0 ist. 
Ist F(x, y) = 0 die nicht aufgelöste Gleichung einer Kurve, 
so lautet sie in homogenen Koordinaten: 
Die linke Seite bleibt ungeändert, wenn x x , x 2 , x 3 durch 
tx x , tx 2 , tx 3 ersetzt werden, und ist daher nach Nr. 91 eine 
homogene Funktion nullten Grades von x x , x 2 , x 3 . Durch Multi 
plikation mit einer Potenz von x 3 kann man sie in eine ho 
mogene Funktion beliebigen Grades verwandeln. 
Umgekehrt: Es liege eine Gleichung 
(1) f(x x , x 2 , x 3 ) = 0 
vor, deren linke Seite eine homogene Funktion n ten Grades von 
x x , x 2 , x 3 ist. Wird die Gleichung von einem Wertsystem 
x x , x 2 , x 3 befriedigt, so wird ihr auch von dem Wertsystem 
tx x , tx 2 , tx 3 genügt, denn es ist: 
f(tx x , tx 2 , tx 3 ) - t n f(x x , x 2 , x 3 ), 
und dies wird infolge von (1) gleich Null. Daher genügen 
der Gleichung (1) Punkte (x x : x 2 : x 3 ) mit homogenen Koor 
dinaten Setzen wir insbesondere 00-^ "■ X> y x^ y y 
x 3 = 1, so sehen wir, daß die Gleichung (1) die Kurve 
f{x, y, 1) = 0 
in den rechtwinkligen Koordinaten x, y darstellt. 
Serret-Scheffers, Diff.- u Iategr.-Rechn. I. 6. u. 7. Aufl. 20 
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