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Kap. VII. Theorie der ebenen Kurven 
von x betrachten. Differenzieren wir unter dieser Annahme 
die Gleichung (3) vollständig, so kommt 
du x dx + du 2 dy -f- u 3 d 2 y = 0 
oder mit Hilfe der für du x und du 2 gefundenen Ausdrücke 
und wegen (3): 
(4) x 3 (u n dx 2 + 2u n dxdy + ti 32 dy 2 ) + = 0. 
Die erste notwendige Bedingung für einen eigentlichen 
Wendepunkt ist nun nach Nr. 172 die Gleichung d 2 y = 0. 
Wenn wir sie allein berücksichtigen, gilt sie auch für die 
uneigentliehen Wendepunkte, also für alle Wendepunkte im 
weiteren Sinne; und wir ivollen hier diese iveitere Auffassung 
des Begriffes des Wendepunktes annehmen. Nach (4) wird also, 
sobald u 2 =}= 0 ist, die Bedingung für die Wendepunkte diese: 
(5) u xl dx s -f- 2u n dxdy + u 22 dy 2 = 0. 
Wird dagegen für einen Punkt (x x : x 2 : x 3 ) insbesondere u 2 = 0, 
so heißt dies nach Satz 7 von Nr. 175, daß seine Tangente in 
der Form u x -f h u s = 0 dargestellt ist, d. h. nicht homogen 
geschrieben in der Form £ = — u 3 :u x , also zur y-Achse parallel 
läuft. Wir wollen vorläufig annehmen, daß kein Wendepunkt 
eine zur y-Achse parallele Tangente habe, also m 2 =f= 0 für 
die Wendepunkte sei; der Fall w 2 = 0 soll in der nächsten 
Nummer besprochen werden. 
Für die Wendepunkte ergab sich die Bedingung (5), in 
der die Differentiale dx und dy der Gleichung (3) unterworfen 
sind, so daß die Elimination der Differentiale liefert: 
(6) u n u 2 — 2u x3 u x u 2 -f w 22 u x = 0. 
Diese Gleichung kann anders geschrieben werden. Denn wenn 
man aus den nach Satz 9 von Nr. 91 für alle Werte von , 
x 3 bestehenden 
Gleichungen: 
CO 
nu 
= U x X x 
+ 
u 2 x 2 
+ 
«3 x 3 , 
(n - 
~ 1) M i 
= u xx x x 
+ 
U l o X% 
+ 
u 13 x 3 
(8) 
/ 
(n - 
- 1) w 3 
— U ix X x 
+ 
M 22 Xj 
+ 
u 23 x 3 
(n - 
- 1) u 3 
— Vl 
+ 
u 33 x 2 
+ 
u 33 x 3 
die linear auftretenden Größen x lf x 2 und u 3 eliminiert, kommt 
für alle Werte von x x , x 2 , x 3 : 
17H]