§ 2. Homogene Koordinaten 
311 
nu 
u x 
u 2 
x 3 
(n — 
1) iq u is%3 
«11 
u X2 
0 
(n — 
1) u 2 u 23 x 3 
u 2l 
^22 
0 
— 
u 33 x 3 
U-i 1 
W 32 
- (n - 1) 
oder: 
(9) — (n — 1 ) 2 \u n w, 2 — 2 u 12 u x u 2 -f u 22 tq 2 ] = x 3 
%ii ^12 ^13 
^'21 ^22 ^23 
u 3i u 32 u 33 
— n (n — 1) u [u n u 22 — u i2 ). 
Da u für die Punkte der Kurve verschwindet und n — 1 =}= 0 
ist, weil wir ja von den geraden Linien absehen werden, folgt 
hieraus, daß die Bedingung (6) wegen x 3 4= 0 ersetzt werden 
kann durch diese: 
(10) 
M u 
u l2 
U 13 
W 21 
^22 
W 23 
u 3X 
U 32 
U 3S 
Man nennt die Determinante der neun Ableitungen zweiter 
Ordnung von u die Hessesche Determinante; wir wollen sie mit 
II U bezeichnen, so daß also H u = 0 die Bedingung für die 
Wendepunkte der Kurve u = 0 wird. Diese Bedingung ist 
eine Gleichung, deren linke Seite eine homogene ganze ratio 
nale Punktion von x lf x 2 , x 3 ist. Daher definiert sie eine ge 
wisse algebraische Kurve. Die Wendepunkte der vorgelegten 
Kurve u = 0 sind also unter den Schnittpunkten der einen 
mit der anderen Kurve enthalten. 
179. Fortsetzung der Betrachtung der Wende 
punkte. Da die Gleichung (3) der vorigen Nummer den 
Differentialquotienten äy\dx = — u x \u 2 liefert, ist die übrige 
Bechnung für den Pall, wo für einen Kurvenpunkt sowohl u x 
als auch u 2 verschwindet, hinfällig, weil dann der Difieren- 
tialquotient unbestimmt wird und daher auch d 2 y nicht wie 
oben gefunden werden kann. Derartige Punkte, für die 
u x = 0 und u 2 = 0 ist, werden wir erst später besprechen. 
Vorläufig haben wir nur festzustellen: Wenn u x = 0 und u 2 = 0 
ist, wird die Bedingung (6) der vorigen Nummer erfüllt; 
[178, 179