Full text: Differentialrechnung (1. Band)

318 Kap. VII. Theorie der ebenen Kurven 
unten geht. Ihre tiefste Stelle liegt da, wo y = 0 wird, hat 
also die Abszisse x = \a und eine negative Ordinate. (Siehe 
Fig. 32, worin a = 3 angenommen worden ist.) Dann steigt 
die Kurve, indem sie an der Stelle x = a 
die Abszissenachse überschreitet. Dabei ist 
y = ' y 1 a für x = a. Für x > a steigt die 
Kurve immer höher und höher. Die zweite 
Funktion y = — (x — d) 1 }/x hat die durch 
Spiegelung an der x- Achse hervorgehende 
Bildkurve. Beide Zweige zusammen bilden 
die Kurve, die durch die vorgelegte Glei 
chung (1) definiert wird. Demnach ist die 
Gesamtkurve ein stetiger Zug, der sich an 
der Stelle x = a der Abszissenachse selbst 
durchschneidet. Diese Stelle heißt daher ein Doppelpunkt der 
Kurve; ihm gehören zwei Tangenten zu, indem hier die beiden 
Werte y = ± y a gelten. Wenn wir die linke Seite von (1) 
mit F bezeichnen, wird: 
F x = -{x-a)(Zx-a), F y = 2y. 
Beide Werte sind gleich Null für x = a, y = 0 und für x=\a, 
y = 0. Das zweite Wertepaar genügt jedoch der Gleichung (1) 
nicht, sondern nur das erste Paar x = a, y = 0, das zu dem 
Doppelpunkte gehört. Daraus folgt: 
Der Doppelpunkt ist hier analytisch als derjenige Punkt der 
Kurve F = 0 gekennzeichnet, für den sowohl F x als auch F ;/ 
gleich Nidl ist. 
184. Beispiel einer Spitze. Anstatt a in der Glei 
chung (1) der vorigen Nummer positiv anzunehmen, wählen 
wir jetzt a — 0. Wir gehen also von der Gleichung aus: 
(1) y^—x 3 = 0. 
Hier sind wieder zunächst zwei verschiedene Funktionen 
y = x y x und y = — x }/x zu betrachten, deren Bilder 
auch jetzt die x-Achse zur Symmetrielinie haben. Wieder 
muß x positiv genommen werden. Das Bild der ersten Funk 
tion hat lauter positive Ordinaten. Dabei ist: 
?/=f y*|, 
18», 184]
	        
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