318 Kap. VII. Theorie der ebenen Kurven
unten geht. Ihre tiefste Stelle liegt da, wo y = 0 wird, hat
also die Abszisse x = \a und eine negative Ordinate. (Siehe
Fig. 32, worin a = 3 angenommen worden ist.) Dann steigt
die Kurve, indem sie an der Stelle x = a
die Abszissenachse überschreitet. Dabei ist
y = ' y 1 a für x = a. Für x > a steigt die
Kurve immer höher und höher. Die zweite
Funktion y = — (x — d) 1 }/x hat die durch
Spiegelung an der x- Achse hervorgehende
Bildkurve. Beide Zweige zusammen bilden
die Kurve, die durch die vorgelegte Glei
chung (1) definiert wird. Demnach ist die
Gesamtkurve ein stetiger Zug, der sich an
der Stelle x = a der Abszissenachse selbst
durchschneidet. Diese Stelle heißt daher ein Doppelpunkt der
Kurve; ihm gehören zwei Tangenten zu, indem hier die beiden
Werte y = ± y a gelten. Wenn wir die linke Seite von (1)
mit F bezeichnen, wird:
F x = -{x-a)(Zx-a), F y = 2y.
Beide Werte sind gleich Null für x = a, y = 0 und für x=\a,
y = 0. Das zweite Wertepaar genügt jedoch der Gleichung (1)
nicht, sondern nur das erste Paar x = a, y = 0, das zu dem
Doppelpunkte gehört. Daraus folgt:
Der Doppelpunkt ist hier analytisch als derjenige Punkt der
Kurve F = 0 gekennzeichnet, für den sowohl F x als auch F ;/
gleich Nidl ist.
184. Beispiel einer Spitze. Anstatt a in der Glei
chung (1) der vorigen Nummer positiv anzunehmen, wählen
wir jetzt a — 0. Wir gehen also von der Gleichung aus:
(1) y^—x 3 = 0.
Hier sind wieder zunächst zwei verschiedene Funktionen
y = x y x und y = — x }/x zu betrachten, deren Bilder
auch jetzt die x-Achse zur Symmetrielinie haben. Wieder
muß x positiv genommen werden. Das Bild der ersten Funk
tion hat lauter positive Ordinaten. Dabei ist:
?/=f y*|,
18», 184]