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§ 2. Von den Funktionen 
In diesem Beispiele ist der Variabilitätsbereich von x der aller 
positiven Zahlen. Andere Beispiele von entwickelten Funk 
tionen sind die oben erwähnten rationalen Funktionen. So ist 
y durch (1) als entwickelte Funktion von x definiert. Da eine 
rationale Funktion y von x x , x 2 , . . . x n offenbar für jedes reelle 
Wertsystem x x , x s , . . . x n einen reellen Wert hat, abgesehen 
von denjenigen, für die der Nenner gleich Null wird (weil man 
mit Null nicht dividieren darf, vgl. Nr. 1), so ist hier der 
Variabilitätsbereich von x x , x 2 , . . . x n der Bereich aller reellen 
Zahlen, abgesehen von denjenigen Wertsystemen, für die der 
Nenner gleich Null wird. Liegt eine ganze rationale Funktion 
y von x lf x 2 , . . . x n vor, so fällt jede Beschränkung fort. 
Wir werden die Funktionen oder abhängigen Veränder 
lichen ebenso wie die unabhängigen Veränderlichen x x , x 2 , 
. . . x n einfach durch Buchstaben wie y x , y 2 , ... bezeichnen 
können. Wenn aber betont werden soll, daß sie von x x , x 2 , 
. . . x n abhängig sind, werden wir zu ihrer Bezeichnung 
Symbole wie f, F, 9, . . . benutzen, hinter die wir die un 
abhängigen Veränderlichen, eingeschlossen in Klammern, 
schreiben. So sollen fix), Fix), cp(x) usw. Funktionen einer 
unabhängigen Veränderlichen x bedeuten; ebenso soll z. B. 
F(x x , x 2 , . . . x n ) eine Funktion von n unabhängigen Veränder 
lichen x x , x 2 , . . . x n sein. Solche Symbole brauchen wir natür 
lich nur dann anzuwenden, wenn wir nicht ganz bestimmt 
gegebene Funktionen betrachten wie z. B. y = smx, y = 10* 
u. dgl., wo sie überflüssig sind. Wenn nun fix) eine 
Funktion von x bedeutet, soll f[a) der Wert sein, den sie 
annimmt, sobald der Veränderlichen x der bestimmte Wert a, 
erteilt wird. Ähnlich im Falle mehrerer unabhängiger Ver 
änderlicher. 
7. Graphische Darstellung der Funktionen. Eine 
Funktion y = fix) von einer Veränderlichen ^ stellt man gra 
phisch dar, indem man in der aus der analytischen Geometrie 
bekannten Art ein Koordinatensystem benutzt. Denn nach 
Nr. 3 können wir alle reellen Zahlen x durch Strecken auf 
einer z-Achse oder Äbszissenachse darstellen, gemessen von 
einem Anfangs- oder Nullpunkte 0 aus unter Zugrundelegung 
einer bestimmt gewählten Einheit Ol, stehe Fig. 1. Zu dieser 
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