322 Kap. VH. Theorie der ebenen Kurven 
zwei entwickelte Funktionen y von x\ zu ihnen gehörten zwei 
Kurvenzweige, die wir dann zu einer Kurve zusammenfaßten. 
Wir haben also die Definition der Kurve, wie sie in Nr. 167 
gegeben wurde, erweitert, indem wir die Gesamtheit aller 
Punkte (x, y), deren Koordinaten einer Gleichung F(x,y) = 0 
genügen, als eine Kurve bezeichnen. So kommen jene be 
sonderen Punkte in den Nummern 183 bis 186 zustande. 
Wir wollen in den folgenden Nummern des gegenwärtigen 
Paragraphen unter einer Kurve den Inbegriff aller Punkte ver 
stehen, deren Koordinaten x, y eine Funktion F (x, y) gleich 
Null machen. Dabei soll diese Funktion in einer Umgebung eines 
betrachteten Kurvenpunktes (x 0 , y 0 ) nach dem Taylorschen Satze 
als unendliche Reihe nach positiven ganzen Potenzen von x — x 0 
und y — y 0 entwickelbar sein. Vgl. Satz 29 von Nr. 137. 
Diese Voraussetzung ist z. B. immer erfüllt, wenn es sich 
um eine algebraische Kurve handelt. Denn in Nr. 177 definierten 
wir eine algebraische Kurve durch eine gleich Null gesetzte 
homogene ganze rationale Funktion der drei homogenen Koor 
dinaten x x , x%, x z ; wird aber x 3 = 1 gesetzt, so werden x x 
und x 2 nach Nr. 175 gewöhnliche Punktkoordinaten x und y, 
so daß also eine algebraische Kurve in der Ebene als der In 
begriff aller Punkte (x, y) zu definieren ist, deren Koordinaten 
x, yeine ganze rationale Funktion F(x,y) gleich Null machen. 
Die ganzen rationalen Funktionen von x und y sind nun in 
der Umgebung jeder Stelle (x 0 , y 0 ) in endliche Reihen nach 
ganzen positiven Potenzen von x — # 0 und y — y 0 entwickel 
bar, da ja die Potenzen in der rationalen Funktion F(x, y) 
einen gewissen Grad nicht überschreiten. 
Infolge der gemachten Voraussetzung haben F x und F y 
in der Umgehung der Stelle (a; 0 , y 0 ) bestimmte endliche 
Werte. 
Wir definieren nun: Regulär sollen alle diejenigen Punkte 
(x, y) der Kurve F(x, y) = 0 heißen, für die F x und F y nicht 
beide gleich Null sind. Wenn dagegen für einen Kurvenpunkt 
(x, y") sowohl F x als auch F v gleich Null ist, soll er singulär 
heißen. Dies sind rein analytische Definitionen; ihre geo 
metrische Bedeutung werden wir in den folgenden Nummern 
besprechen. Man sieht vorläufig, daß die in Nr. 183 bis 186 
187]