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§ 3. Singuläre Punkte 
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werden darf, was wir, wie gesagt, erst später beweisen. Um 
jene Reihe (5) zu berechnen, verfahren wir so: 
Aus (2) folgt: 
Fxx = 1 ' 2^20 + 2-3 (J. 30 £ 4- A n y) 
F xy = 1 • 2A n + 2-3 (A 21 x -f A u y) + ■ • •, 
F yy = 1 • 2 A 02 + 2-3 (A 12 x -f- A 03 y) + • • •, 
also für x = 0, y — 0: 
-F(°> = 2A 
20? 
A(°) = 2A 
xy 
11? 
AW =2A 
02* 
Entsprechend lassen sich die höheren Ableitungen von für 
x = 0, y = 0 durch die Koeffizienten _4 ijt leicht ausdrücken. 
Nach (5) muß andererseits sein: 
y — 1 • -(- 2 • ctg ¿r 4" 3 • ctg iC" -{-•••, 
y"= 1 • 2 • a 2 + 2 • 3 • a 3 x -| , 
; 
woraus für # = 0 folgt: 
(6) y 0 ' — 1 • a u y 0 " = 1 • 2 • n 2 , y 0 "' = 1 • 2 • 3 • «3, . . . . 
Nun fordern wir zunächst, daß die Funktion y von x in (5) 
gleich Null für x = 0 sei. Also ist a 0 — 0. Die Funktion soll 
auch die Gleichung F(x,y) = 0 in der Umgebung von x = 0 
befriedigen. Dies ist an der Stelle x — 0 selbst der Fall, da 
F(0, 0) = 0 ist. Aber durch vollständige Differentiation von 
F= 0 nach x ergeben sich nacheinander noch die Gleichungen: 
(?) 
F x + F y y = 0, 
F xx + 2F xy y'+F yy y'* + F y y''= 0, 
F xxx + 3F xxy y + 3F xyy y' 2 4- F yyy y z 
+ = 0, 
wobei besonders beachtet werden möge, daß jedesmal die Ab 
leitung höchster Ordnung von y mit F y multipliziert ist. Indem 
wir nun x = 0 annehmen und die Werte (6) einsetzen, er 
halten wir eine Reihe von Gleichungen, von denen die erste 
a 1} die zweite außerdem a 2 , die dritte noch a 3 usw. enthält. 
Denn diese Größen treten wegen (3) multipliziert mit A 01 , 
1 ■ 2A 0i , 1 • 2 • 3^ usw. auf. Weil A 01 4= 0 nach (4) ist,