§ 3. Singuläre Punkte 
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keine Folgerung ziehen, beginnen vielmehr mit der zweiten 
Gleichung (7). Sie liefert für x = 0, y = 0, da FW = 0 ist 
und die Werte (6) einzusetzen sind, die Gleichung: 
(1) 
somit eine quadratische Gleichung zur Berechnung von a x . 
Wir wollen vorerst annehmen, sie habe zwei reelle ver 
schiedene Wurzeln a 1 , d. h. es sei 
J?(0)2 _ 0) jp(o) > o. 
er. n er. er. v n ^ 
(2) 
xy XX yy 
Außerdem nehmen wir an: 
i™»4= 0. 
yy 1 
Ist übrigens F (0) = 0, so kann man statt einer Reihenentwick- 
lung von y nach Potenzen von x eine solche von x nach 
Potenzen von y suchen, wenn F^ x 4= 0 ist. Wenn wir also 
im folgenden FW 4= 0 voraussetzen, bedeutet dies keine wesent 
liche Beschränkung der allgemeineren Voraussetzung: Es sollen 
nicht beide Größen F^ x und F^ gleich Null sein. 
Wir erhalten aus (1) zwei reelle verschiedene Werte von 
a 1? etwa a/ und cq". Wenn wir nun die dritte, vierte usw. 
Gleichung (7) der vorigen Nummer für x = 0, y = 0 bilden, 
sehen wir, daß die dritte, da jetzt F^> — 0 ist, wegen der 
Substitutionen (6) der vorigen Nummer a 2 bestimmt, die vierte 
u 3 usw. Denn die dabei auftretenden Koeffizienten von a 2 , 
a 3 usw. würden nur dann gleich Null sein, wenn F xy + F yy y' 
für x — 0, y — 0 gleich Null, d. h. F^ y + -Z* 0 ^iq = 0 wäre. 
Dann aber hätte die quadratische Gleichung (1) gegen die 
Voraussetzung eine Doppelwurzel. 
Demnach haben wir nunmehr, da für a x zwei Werte a/ 
und cq" zu setzen sind, eine Reihe von Gleichungen vor uns, 
aus denen sich zwei Reihen von Werten für a 2 , a 3 , a 4 , . . . 
ergeben, die wir mit a 2 ', a 3 , a±, . . . und mit a 2 ", a 3 ", a±, . . . 
bezeichnen wollen, so daß wir zu zwei Entwicklungen nach 
ganzen positiven Potenzen von x 
y — a^ x 4 a 2 ' 4 ^ x% H > 
y = a x "x + a 2 "x 2 4 a 3 "x s 4 • • • 
gelangen, die, in F(x, y) eingesetzt, die Forderung F(x, y) = 0 
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