§ 3. Singuläre Punkte 
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W3I1 < worauf 
at *ieklmg a j, 
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* & darch d ei 
Sind rer- 
~ wir hier 
ec ficzigen Knr- 
tehen. 
190. Fortsetzung- der Betrachtung singulärer 
Stellen. Wir wollen jetzt annehmen, daß für x = 0, y = 0 
nicht nur JF, F 7 und F 7 , sondern auch F 2 — F„-F„„ = 0 sei. 
7 x yy xy XX yy 
Alsdann hat die in voriger Nummer angegebene quadratische 
Gleichung (1) für oq eine Doppelwurzel, für die also auch 
F1°) -f- F^a, = 0 ist. Von den Gleichungen (7) in Nr. 188 
fällt die erste wieder weg, während die zweite für x — 0, 
y = 0 jene quadratische Gleichung für cq und die dritte eine 
kubische Gleichung für oq gibt: 
ifl notwendigen 
h № hm 
^,/**=*„ 
v /» *=*„ 
b Hk 
ir de größeren 
0,0) ableiteten, 
kt (*„*) der 
Potenzen tob 
FW _p 3FM a. + 3FM a* + F (0) cq 3 = 0. 
XXX 1 xxy 1 1 xyy 1 1 yyy 1 
Im allgemeinen wird die Doppelwurzel cq nicht auch diese 
kubische Gleichung befriedigen, d. h. es stellt sich der formalen 
Berechnnng der BeihenentwicMimg hier ein Hindernis entgegen. 
Dies ist ein ganz anderes Hindernis als im Falle des isolierten 
Punktes. Dort nämlich kann man immer noch Reihenent 
wicklungen finden, die jedoch imaginär sind, während hier ge 
radezu ein Widerspruch vorkommt. 
Da also keine Reihenentwicklung von y nach ganzen po 
verschwinden 
q keine reelle 
i zwei Men- 
mgiiir. Man 
KwwwBge 
MM also, 
M ml und 
sitiven Potenzen von x und ebenso keine von x nach ganzen 
positiven Potenzen von y vorhanden ist, muß man einen an 
deren Weg einschlagen. Um dies zu erläutern, wollen wir 
zunächst das Achsenkreuz in eine bequemere Lage bringen, 
indem wir es um einen Winkel cc drehen. Sind x 1} y t die 
neuen rechtwinkligen Koordinaten, so ist 
(1) X t = X cos cc 4- y sin cc, y ± = — x sin a + y cos a, 
also: 
(*,*)«» 
x = x l cos « —- y x sin cc, y ■== x x sin a -f- y x cos a. 
-0,F,=0 
M,- 1 » 
fj 9 *b 
rt iolgücki ein 
tt HierEU vgl. 
Daher wird F(x, y), wenn diese Werte von x und y eingesetzt 
werden, eine Funktion $(aq, yf)- Dabei ergibt sich genau so, 
wie wir in Nr. 179 die Ableitungen der neuen Funktion ü 
berechneten: 
(2) Q> x = F x cos cc -j- F y sin cc, = —- F x sin cc -\-F y cos cc, 
{® XiXl = F xx cos 2 a + 2F xy sin «cos«+ F yy sin 2 cc, 
(3) | & XiVl = — F xx smcccosccFF xy (e,os 1 a—si^^-b-F^ySinacoso:, 
1 <&„ „ = F v „ sin 2 cc — 2jsin cc cos cc 4- F„„ cos 2 cc. 
y ijfl XX xy 1 yy 
[190