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Kap. VII. Theorie der ebenen Kurven 
Aus (2) folgt, daß für den Anfangspunkt ® x = ® yi = 0 wird, 
da für ihn F x = F y - 0 ist. Ferner wird nach (3): 
02—0 0 = F 2 — F F 
»ij/i 
also nach wie vor: 
0 0 _ _ _ 
tf(o) 1 - 0> ( °) 3> (0) = o. 
*i2/i yiVi 
M&er wir können den Winkel a so wählen, daß jetzt außerdem 
0W = 0 wegen der ersten Gleichung (3). 
Man sieht hieraus, daß wir uns ohne Beeinträchtigung 
der Allgemeinheit auf den Fall beschränken können, wo ins 
besondere Ff x = 0 ist. Da für x = 0, y = 0 der Ausdruck 
F x — F xx F yy verschwinden soll, ist dann auch F { jj = 0. 
Folglich nimmt die in Nr. 188 unter (1) angegebene Reihen 
entwicklung für F(x, y) die besondere Form an: 
(4) F(x,y)-A 0 .j/+ (A K x* + 3A 21 x* !l + 3A 11 xf-+A m y*) + -~. 
Welche Beschaffenheit nunmehr der singuläre Anfangspunkt 
hat, wollen wir nur in dem Falle untersuchen, wo 
^02 ^ 0 
ist, d. h. zvo nicht alle Glieder ziceiter Ordnung in der Ent 
wicklung von Fix, y) verschwinden. Die Ergebnisse fallen ver 
schieden aus, je nachdem A 30 =j= 0 oder M 30 =0 ist. 
Zunächst sei: 
A 30 =4= 0. 
Je nachdem x positiv oder negativ ist, können wir x mit £ 2 
oder — | 2 bezeichnen. Wir setzen also x — i| 2 , wo e = + 1 
sein darf. Ferner werde y : x mit rj bezeichnet. Dies bedeutet: 
Es sollen neue Veränderliche £ und rj vermöge der Substitution 
(5) X = £| 2 , y = s^rj 0 = ± !) 
eingeführt werden. Aus der Gleichung F(x, y) — 0 wird dann 
eine Gleichung in £ und r;, deren linke Seite nach dem Taylor- 
schen Satze nach positiven ganzen Potenzen von i; und y in 
einer Umgebung des Wertepaares £ = 0, ?; = 0 entwickelbar ist. 
Von ihr läßt sich der Faktor | 4 absondern, was geschehen 
darf, da ja | = 0 nach (5) auch x — 0, y = 0 nach sich zieht, 
während wir nicht den Punkt (0,0), sondern seine Umgebung 
betrachten wollen, wo x und y nicht beide gleich Null sind. 
Demnach bleibt die Gleichung übrig: 
190]