§ 3. Singuläre Punkte 
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(3): 
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Dies bedenkt: 
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£(J.. 10 | 4 + + 6M 22 |V + 4J. 13 | 4 -»y 3 + M 
V) + 
4 ij 4 ) -4- • • • == 0 
oder, wenn wir die Glieder nach ihren Dimensionen ordnen: 
(6) (^30 I 2 4~ sA 02 7] 2 ) + • • • = 0, 
wo die Glieder von höherer als zweiter Dimension nur durch 
Punkte angedeutet sind. Jetzt liegt rechnerisch wieder der in 
der vorigen Nummer besprochene Fall vor, indem an Stelle von 
F = (M 20 x* + 2Ai x V + 4»y 2 ) 4— = 0 
die neue Gleichung (6) zu nehmen ist. Die zugehörige qua 
dratische Gleichung für cq wird: 
-4-30 4" £ ^-02% j = 0. 
Nach Voraussetzung ist A 30 =)= 0 und A 02 4= 0. Sind beide 
vom selben bzw. von verschiedenen Vorzeichen, so ergeben 
sich für cq zwei verschiedene reelle Werte cq' und cq", wenn 
e = — 1 bzw. s = -(- 1 ist. Dabei ist cq" = — cq'. Wenn wir 
also e = + 1 oder — 1 nach dieser Maßgabe wählen, gehen 
wie in voriger Nummer in jedem Falle zwei Reihen hervor: 
V = a i I 4~ a>2 £ 2 4~ a z £ 3 4~ ' • ’) 
r1 = <1 + 4~ <'i 3 4 > 
wobei cq" — — cq' ist. Nach (5) gibt es also in der Umgebung 
des Anfangspunktes zwei Darstellungen 
x = fi£ 2 , y = 4 2 « l + < £ 2 + a 3 ' g 3 4 ) 
* = y = «£ 2 (<q"£ 4- Og"! 8 + a 3 ''% 3 4 ) 
der Kurve mittels einer Hilfsveränderlichen daher zwei 
Kurvenzweige. Da s den bestimmten Wert +1 oder — 1 be 
deutet, ist x entweder für beide Zweige positiv oder für beide 
negativ. Ferner wird beim ersten Zweige: 
dy 
dx 
dy : d| 
dx: di, 
— % £ 4" ß 2 £ 2 4" *' ‘ 4" 4~ 2cq £ 4- • • •); 
also für | = 0 auch dy : dx = Q, ebenso beim zweiten Zweige. 
Beide Zweige berühren daher im Anfangspunkte die positive 
ec-Achse, wenn £ = 4- 1 ist, dagegen die negative er-Achse, 
wenn e = — 1 ist. Wir setzen natürlich immer den noch un 
bewiesenen Umstand voraus, daß die gefundenen Reihen gültige 
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