§ 3. Singuläre Punkte
333
tenzen Yon rj, so daß wegen (7) wieder zwei Kurvenzweige
hervorgehen, die mittels einer Hilfsveränderlichen rj so dar
gestellt werden:
|x = a 1 ' rj + af rj' 2 d , y = rj + af rj 2 -\ )
(9) und:
\x = af rj Hr af'rf + • • •, y = rjiüi'rj + a 2 'V + • • •)•
Im Falle (8) liefert ic = 0 für beide Zweige y — 0 und auch
dy:dx = 0. Da x positiv o‘der negativ sein kann, besteht die
Kurve in der Umgebung des Anfangspunktes aus zwei Zweigen,
die dort zwar die x-Achse berühren, aber kein Ende haben.
Daher liegt eine Stelle vor, an der die Kurve sich selbst be
rührt, aber keine Spitze hat. Im Falle (9) ergibt sich das
selbe für den Anfangspunkt, da dann bei beiden Zweigen für
rj = 0 sowohl x und y als auch dy : dx gleich Kuli wird.
Der Fall, wo A 02 und A i0 beide gleich Null sind, ist
beiseite gelassen worden; ebenso wollen wir auf den Fall
9^.^— 4A 02 A i0 = 0 nicht näher eingehen. Man hat in diesen
Fällen weitergehende Untersuchungen anzustellen. Hierher ge
hört z. B. die in Nr. 186 aufgetretene Schnabelspitze.
191. Allgemeine Bemerkungen über singuläre
Stellen. In Nr. 187 haben wir, um auf wenigstens einiger
maßen sicherem Grunde Untersuchungen über singuläre Stellen
durchführen zu können, über die Funktion E(x, y), durch deren
Nullsetzen eine Kurve definiert wird, ziemlich beschränkende
Voraussetzungen gemacht. Die Gleichungen der Tangente und
Normale unter (4) in Nr. 169 sind aber, wie wir schon in
Nr. 187 hervorhoben, stets nichtssagend, sobald für einen Kur
venpunkt F x und F y beide gleich Null werden.
Wir sagen daher jetzt allgemeiner:
Ist F (x, y) innerhalb eines gewissen Variabilitätsbereiches
für x und y definiert und stetig und sind F x und F y innerhalb
dieses Bereiches vorhanden, so soll ein Funkt (x, y) der Kurve
F(x,y) = 0 nur dann regulär heißen, wenn für ihn F x und F y
nicht alle beide gleich Null sind. Andernfallls heißt er singulär.
Wenn wir später Betrachtungen für die Umgebung eines
Kurvenpunktes (#, y) anstellen, soll immer ein regulärer
[190, 191
