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Kap. VII. Theorie der ebenen Kurven 
so daß von M bis M x eine der beiden Endordinaten TM 
und T X M X die größte und die andere die kleinste ist. Diese 
Voraussetzung kann fallen gelassen werden, denn die Beweis 
führung gilt auch, wenn die kleinste und die größte Ordinate 
von M bis M x irgendwo zwischen TM und I\M X liegen. 
Ist nämlich k der kleinste und y der größte Wert, den y im 
Intervalle von x bis x + Ax annimmt, so wird wieder: 
kAx Au^ gAx, 
wo die oberen oder unteren Zeichen gelten, je nachdem Ax 
positiv oder negativ ist. Hieraus folgt durch Division mit ¿Ix, 
weil dann > mit < zu vertauschen ist, sobald ¿Ix negativ 
gewählt wird, in jedem Falle: 
7 .Au . 
oder, was dasselbe ist: 
+<*-*)■ 
Außerdem ist im Intervalle von x bis x + ¿Ix: 
k <Ly <Lk + (g — 1c). 
Für lim ¿Ix — 0 wird g = Ti, weil y = f(x) stetig ist, und 
folglich limft = i/. Also kommt wie vorhin: 
du 
dx 
= y = /■(»)• 
Satz 11: Ist eine Funktion f(x) stetig und positiv in dem 
Intervalle von x 0 bis x>x ü und bedeutet u den Inhalt desjenigen 
Flächenstückes, das von der Äbszissenachse, von den zu x G und x 
gehörigen Ordinaten und von dem Bilde der Funktion y = fix) 
begrenzt wird, so ist u eine Funktion der veränderlichen Ab 
szisse x, deren Ableitung die Ordinate fix) ist: 
Wir machen darauf aufmerksam, daß wir nur die Stetig 
keit von f(x) vorausgesetzt haben, nicht die Differenzierbarkeit. 
Insbesondere gilt der Satz auch für die von Kurven y = fix) be 
stimmten Flächen, wenn die Kurven wie in Nr. 167 definiert werden. 
193. Die Bogenlänge einer ebenen Kurve. Wir wollen 
jetzt annehmen, daß y = f(x) nicht nur stetig, sondern auch 
193, 193]