® Grenzwert 
§ 5. Krümmung der ebenen Kurven 341 
Nach (4) in voriger Nummer ist, wenn t die Bogenlänge 
s selbst bedeuten soll, cp'(t) 2 -j- = 1. Wenn also 
«“IpWj y — ^( s ) 
die Darstellung einer Kurve mit Hilfe ihrer Bogenlänge s be 
deutet, bat man für beliebiges s: 
liltnisse des 
im zweiten 
Mgt ii- 
(1) die M- 
Ы mr ist 
kbiraiicmcl 
die Foraei: 
Nach (5) in Nr. 169 ergibt sich dabei für den Tangenten 
winkel r: 
\ » du d oc 
1) Sin T = —A— . COS t — -j— • 
v } ds ’ ds 
§ 5. Krümmung der ebenen Kurven. 
195. Das Krümmungsmaß. Nunmehr liege die Bild 
kurve einer Funktion N 
y = f(p) 
0 gegeben, 
ar beirach- 
эег Stellen 
Null sind 
vor, die nebst ihrer ersten und zweiten Ableitung in dem zu 
betrachtenden Intervalle überall stetig sei. Ist M oder (x, y) 
ein Punkt der Kurve, die nach Nr. 169 i f 
im Sinne wachsender Abszissen durch- 
laufen wird, und bedeutet r den zuge- A/TJ ^ 
hörigen Tangentenwinkel, siehe Fig. 37, ds/JS^* 
so wird sich r ändern, wenn M auf M 
der Kurve fortwandert. Gelangt M nach fr A x 
M 17 indem die Abszisse um Ax wächst, 1 \ x 
Kurve im 
hneu wir 
muß die 
iferenüäj1- 
so gehöre zu M. der Tangentenwinkel 
° 1 . ° . Fig. 37. 
r A Ar. Alsdann gibt Ar den Rieb- — ' 
tungsuntersebied zwischen der neuen und der alten Tangente 
an. Er hat sich dadurch herausgestellt, daß M eine gewisse 
Bogenlänge As bis M x zurückgelegt hat. Der Bruch Ar : As 
heißt die mittlere oder durchschnittliche Krümmung des Kurven 
stückes von M bis M x . Hätte ein Punkt dasselbe Kurvenstück 
rückwärts durchlaufen, so wäre As negativ, aber auch Ar 
hätte das Zeichen gewechselt. Es hätte sich also derselbe Wert 
ferander- 
en Kurv® 
die Bogen- 
ii 
für die mittlere Krümmung ergehen. 
Die Tangenten t von M und t t von M x schneiden sich in 
einem Punkte S unter dem Winkel Ar. In der Figur haben 
wir Ar positiv gewählt-, man erkennt aber, daß Ar positiv] 
[194, 195