§ 5. Krümmung der ebenen Kurven 
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Will man sich die Wahl der unabhängigen Veränderlichen 
noch Vorbehalten, so wird man in (1) die Differentiale erster 
und zweiter Ordnung von dx und dy einführen, indem man 
y' dx durch das Differential von dy : dx ersetzt, vgl. (7) in 
Nr. 93. Es ergibt sich so statt (1): 
dx dxd 2 y— dyd 2 x 
(2) 
ydx 2 -\-dy* s 
Wenn die Kurve im Sinne der wachsenden Werte der unab 
hängigen Veränderlichen positiv gerechnet, dementsprechend 
x wie in Nr. 169 gemessen und s auch wachsend mit der un 
abhängigen Veränderlichen gerechnet wird, ist dabei die Wurzel 
positiv zu nehmen. 
Wird z. B. die Bogenlänge s selbst als die unabhängige 
Veränderliche gewählt, so kommt nach (2) in Nr. 193: 
dxd 2 y — dyd 2 x 
ds s 
dx 
ds 
(3) 
Das Krümmungsmaß dx : ds ist positiv oder negativ, je 
nachdem der Tangentenwinkel x mit wachsendem s zu- oder 
abnimmt, d. h. je nachdem die Kurve heim Durchlaufen im 
Sinne wachsender Werte von s nach links oder rechts herumgeht. 
196, Die ebenen Kurven konstanter Krümmung. 
Hat eine Kurve konstante Krümmung k, so ist dx : ds = k, 
also, wenn k zunächst von Null verschieden angenommen wird, 
ds = dx : k, so daß aus (1) in Nr. 194 folgt: 
oder: 
— cos x 
Nach Satz 5 von Nr. 29 ist also, wenn a und h Konstanten 
bedeuten: 
Sin X COS X 
x — a — -JT> y — o = — 
woraus folgt: 
0 - aY +(y-hy=j c5 
Es ergibt sich somit ein Kreis, der den reziproken Wert der 
konstanten Krümmung zum Radius hat. 
[195, 196