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Kap. VII. Theorie der ebenen Kurven 
liehe dient, Vorbehalten bleiben, so haben wir statt (1) ent 
sprechend (2) in Nr. 195 zu schreiben: 
(2) 
ds ydx* -f- dy** 
dt dxd^y — äyd-x 
Wenn alsdann die Wurzel positiv gerechnet wird, sobald die 
Kurve im Sinne wachsender Werte der unabhängigen Veränder 
lichen durchlaufen und dadurch die positive Richtung der Tan 
gente bestimmt, folglich auch die der Normale durch positive 
Drehung der positiven Tangente um einen rechten Winkel fest 
gelegt wird, so ist auch jetzt JR^> 0 oder <0, je nachdem der 
vorhin konstruierte Punkt C auf der positiven oder negativen 
Normale liegt. 
Wird insbesondere die Bogenlänge s als unabhängige Ver 
änderliche gewählt, also die Kurve mit wachsenden Werten von 
s durchlaufen, so ergibt sich entsprechend der Formel (3) in 
Nr. 195: 
(3) 
ds s 
dxd^y — dy d*x 
Wir kehren zu der Annahme zurück, daß x die unab 
hängige Veränderliche sei und die Kurve im Sinne wachsender 
x durchlaufen werde. Alsdann ist, wenn v den Winkel der 
positiven Normale mit der positiven x-Achse bedeutet, nach 
(2) in Nr. 169: 
— y 
(4) sin v = , —, cos v = , , 
V1 4~ V 2 V1 d - y 2 
wo die Wurzel positiv ist. Der Mittelpunkt C des Krümmungs 
kreises, der sogenannte Krümmungsmittelpunkt von M, hat nun 
in jedem Falle nach Fig. 39 die Koordinaten: 
(5) x 1 = x + 11 cos v, y 1 = y -f- JR sin v, 
so daß wegen (1) und (4) kommt: 
(6) 
x = — 
(i + V*)V 
Vi-y = 
i + 2/' 2 
y ' y 
Daß hier die Quadratwurzel nicht mehr auftritt, hängt damit 
zusammen, daß der zu M gehörige Krümmungsmittelpnnkt C 
eine durch die Gestalt der Kurve allein bedingte ganz be 
stimmte Lage hat, die unabhängig davon ist, ob wir die Kurve 
im Sinne wachsender Abszissen oder anders durchlaufen. 
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