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Kap. VII. Theorie der ebenen Kurven 
Xi — X = — 
O + W _ i+y 
y" ' y ■ y" 
Dies aber sind die Formeln (6) der vorigen Nummer, womit 
der Satz 13 bewiesen ist. 
Die Gleichungen (3) lassen sich so schreiben: 
x x = x — R sin t, y x — y -f- R cos r 
(4) 
wie ans (5) in Nr. 197 sofort folgt, weil cos r = - sinr und 
sin v = cos x nach (1) und (2) in Nr. 169 ist. Wir können 
hierfür, weil R = ds:dt ist, auch schreiben: 
/r \ US • . WS 
(5) x x = x — j^smt, y x =y+ — cos t. 
In Nr. 146 trat ein Punkt C auf der Normale eines 
Kurvenpunktes (x, y) auf, dessen Ordinate l) dort der Glei 
chung (3) genügte. Man sieht aus (2), daß jener Punkt C der 
Krümmungsmittelpunkt des Kurvenpunktes (x, y) war. 
199. Definition der Evolute und Evolvente. Der 
geometrische Ort der Krümmungsmittelpunkte C oder {x x , y x ) 
der verschiedenen Punkte M oder (x, y) einer gegebenen 
ebenen Kurve heißt die Evolute der Kurve. Die gegebene 
Kurve selbst heißt eine Evolvente der Evolute. 
Die Evolute ist also der Ort der Krümmungsmittelpunläc 
der Evolvente. 
Die Gleichungen (3) in Nr. 198 bestimmen die Koordinaten 
(«1, y x ) eines Punktes C der Evolute, wenn x als unabhängige 
Veränderliche gewählt wird. Diese besondere Voraussetzung 
kann vermieden werden: Wir führen in die Gleichungen (4) 
der vorigen Nummer den Wert von R aus (2) in Nr. 197 und 
die Werte von sin x und cos x ein, wodurch sich ergibt: 
(<dx 2 -f dy*)dy 
dxd 3 y — dy d^x 
(dx- -f- dy*)dx 
dxd~y — dy d-x 
(1) X x = X — 
> Vi = y + 
Sind x, y als Funktionen einer Hilfsveränderlichen t gegeben, 
so werden auch die Koordinaten x x , y x der Punkte der Evolute 
Funktionen der Hilfsveränderlichen t. 
200. Eigenschaften der Evolute. Die Formeln (4) 
in Nr. 198, nämlich: 
(1) x x = x — R sin x, y x = y -f R cos r, 
198, 199, ÄOO]