§ 5. Krümmung der ebenen Kurven 
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201. Mechanische Erzeugung der Evolvente. Auf 
Grund der in voriger Nummer bewiesenen Eigenschaften hat 
der Ort der Krümmungsmittelpunkte den Namen Evolute, die 
Kurve selbst den Namen Evolvente bekommen. Wenn nämlich 
etwa B Q absolut genommen kleiner als JR X ist, siehe Eig. 40, 
folgt aus (4) in voriger Nummer, näm 
lich aus jßj = — s x ^ + jR 0 , daß 
sich M 1 aus C x so konstruieren läßt: 
Wir ziehen in G x die Tangente an die 
Evolute im Sinne nach C 0 hin und 
tragen auf ihr die Summe des absolut 
gemessenen Bogens C 0 C x und der ab 
solut genommenen Strecke M 0 C 0 ab. 
Der Endpunkt ist M x . Es leuchtet 
also ein, daß ein in G x (oder weiter 
über C x hinaus) an der Evolute befestigter unausdehnbarer, 
aber biegsamer Faden, der längs G x C Q an die Evolute angelegt 
und zunächst von C 0 an tangential bis M 0 angespannt ist, mit 
seinem Punkte M 0 die Evolvente M 0 M X beschreiben wird, so 
bald er, beständig straff gehalten, von der Evolute abgewickelt 
wird. Die Evolvente erscheint hier als eine Bahnkurve, als eine 
orthogonale Trajeläorie der Tangenten der Evolute. 
202. Evolute einer algebraischen Kurve. Stellt 
F(x,y) = 0 eine algebraische Kurve vor, d. h. ist F{x,y) nach 
Nr. 187 eine ganze rationale Funktion von x und y, so ergeben 
sich aus 
K + F y V = 0, F xx + 2F xy y' + F yy y'* + F y y" = 0 
für y und y" gebrochene rationale Funktionen von x und y. 
Setzen wir sie in die Formeln (6) von Nr. 197 ein, so stellen 
sich auch x x und y x als gebrochene rationale Funktionen von 
x und y dar. Wir kommen daher zu drei Gleichungen: 
(1) jF= 0, A x x x E A 2 = 0, E x y x + == 0, 
in denen F, A x , A 2 , B x , B 2 ganze rationale Funktionen von x 
und y sind. Wenn man diese Gleichungen wiederholt mit x 
und y multipliziert, erhält man eine Anzahl von Gleichungen, 
die in den Produkten von der Form x u yP sämtlich linear sind. 
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