§ 6. Polarkoordinaten 
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(x, y) unendlich viele Paare von Polarkoordinaten ca und p. 
Ist nämlich co 0 und p 0 eines, das den Forderungen (1) genügt, 
so sind 
(2) co = co 0 -j- '¿kn, p = p 0 und co = <o 0 -j- (2k -f- V)n, p =— p 0 , 
wenn 1c eine beliebige ganze Zahl bedeutet, die allgemeinsten, 
die (1) ebenfalls erfüllen. Unter einem Punkte mit den Polar 
koordinaten co und p muß man hiernach denjenigen Punkt M 
verstehen, der sich so ergibt: Man dreht zuerst die positive 
#-Achse um den Winkel co herum in die neue Lage. Auf dem 
so erhaltenen Schenkel trägt man vom Anfangspunkte 0 die 
Länge von p bis M ab und zwar auf dem Schenkel selbst, 
wenn p > 0 ist, dagegen auf seiner rückwärtigen Verlängerung 
über 0 hinaus, wenn p<0 ist. Beachtet man dies, so geben 
alle Wertepaare (2) denselben Punkt (co 0 , p 0 ). 
Nach (1) kommt: 
(3) co = arc tg ~, p = yV + y 2 . 
Wegen (1) ist hierin clie Quadratwurzel positiv oder negativ zu 
wählen, je nachdem für co aus co = arc tg (y : x) ein Wert ent 
nommen wird, f ür den x und cos co dasselbe oder verschiedene 
Vorzeichen haben. 
Die erste Gleichung (3) gibt keine Bestimmung von co, 
wenn x = y = 0 ist. In der Tat muß der Anfangspunkt in 
Polarkoordinaten vermieden werden, da zu ihm zwar der Wert 
q = 0, aber ein beliebiger Wert von co gehört. Wenn eine 
Kurve durch den Anfangspunkt 0 geht, kann man allerdings 
unter der Amplitude co eines Punktes M der Kurve da, wo 
M die Lage 0 passiert, den Grenzwert verstehen, den co dort 
erreicht, d. h. man kann unter der Richtung OM des Radius 
vektors in diesem Falle die Grenzlage des Strahles OM ver 
stehen für den Fall, daß M auf der Kurve in 0 hineinrückt, 
also die Richtung der Tangente. Aber die Definition der Polar 
koordinaten verlangt dies nicht; es geschieht nur aus nahe 
liegenden Gründen der Stetigkeit. 
Vermeidet man bei der Betrachtung eines Kurvenstückes 
den Pol 0 der Polarkoordinaten, so kann man, da q alsdann 
den Wert NuLl nicht durchschreitet, den Radiusvektor p stets 
positiv annehmen, also als zweiten -SMienkel von co (und nicht 
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