Kap. VII. Theorie der ebenen Kurven 
x = f cos X + (f + C) sin x, y = f sin T — (f+C) cos r 
dieselbe Evolute (8) wie die Kurve (3). Demnach gehören zu 
einer Evolute (8) unendlich viele Evolventen. Sie haben sämtlich 
die Tangenten der Evolute zu Normalen, sind also die ortho 
gonalen Trajelctorien der Tangenten der Evolute (vgl. Nr. 201). 
§ 8. Oskulierende Kurven. 
214. Definition einer Berührung- höherer Ordnung. 
Yorgelegt seien die Gleichungen 
y = f(x) und y x = f x (x) 
zweier Kurven MM' und MM ± ' (siebe Fig. 44), deren Ordi- 
naten wir mit y und y x bezeichnen. Wir 
nehmen an, daß beide Kurven einen Punkt M 
? mit einer gewissen Abszisse x gemein haben, 
so daß y und y l für diesen Wert x überein- 
~~L ■>- stimmen. Außerdem sollen die Funktionen f(x) 
und f^ipc) wiederholt differenzierbar sein. 
Fig. 44. 
Man sagt nun, daß sich die beiden Kurven 
der y ien Ordnung berühren, wenn für die Ab- 
im Tunkte M in 
szisse x dieses Punktes die Gleichungen bestehen: 
(!) Vi = V, ft'“?', yi" = V", • • • > yi w — y^, 
wo y'T) und yjti die g ten Ableitungen bedeuten, und außerdem 
(2) 
y (/* +1) =j=. yie +1) 
ist. Gleich hier sei betont: Ist die zweite Kurve eine Gerade, 
so sind für sie y^', y^",. . . y^, y 1 (ji + 1 ^ sämtlich gleich Null. 
Dann also besagen die Voraussetzungen (1) und (2), daß die 
Gerade die Tangente der ersten Kurve in M ist, ferner y", 
y'",...y№ gleich Null sind, dagegen i/0“ + 1 )=j=O ist. Daraus 
sieht man, daß sich die Definition der Berührung höherer Ord 
nung zwischen einer Kurve und Geraden, die in Nr. 172 ge 
geben wurde, der hier aufgestellten Definition der Berührung 
höherer Ordnung zwischen zwei Kurven unterordnet. 
Wir nehmen an, daß die Funktionen y und y l nebst ihren 
Ableitungen bis zur (u -j- 2) ien Ordnung einschließlich in einer 
Umgebung der Stelle x bestimmte endliche Werte haben, so daß 
reis, 814]