§ 8. Oskulierende Kurven 
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das Zeichen nicht, wenn man das Zeichen von Ax ändert, so 
bald nur | Ax | hinreichend klein gewählt wird; das Zeichen 
bleibt also das nämliche wie das der Differenz y^'+ 1 )— y 1 ^ +1 \ 
Dies besagt, daß zu beiden Seiten des Berührungspunktes die 
eine Kurve durchaus auf derselben Seite der andern verläuft. 
Ist dagegen g, eine gerade Zahl, so ändert V—mit Ax 
auch das Zeichen; die Kurven durchsetzen dann einander im 
Berührungspunkte. D. h.: 
Satz 19: Wenn zwei Kurven in der Ebene einander in 
einem, Punkte in gerader Ordnung berühren, durchsetzen sie 
einander dort, im Falle einer Berührung in ungerader Ordnung 
iedoch nicht. 
Im Falle einer Berührung g ter Ordnung gibt es keine dritte 
Kurve durch M, die in der Umgebung von M zwischen den 
beiden ersten verläuft, es sei denn, daß sie im Punkte M Be 
rührungen von g ter oder höherer Ordnung mit jenen Kurven 
eingeht. Denn wenn Y 2 diejenige Ordinate der dritten Kurve 
ist, die zur Abszisse x + Ax gehört, hat man: 
r.-r^cr.-rj + ir-ro. 
Verschwände Y 2 — Y in niedrigerer als der (g -j- l) tei1 Ordnung 
mit Ax, so wäre Y i —Y 1 von derselben Ordnung, und folglich 
hätten 
Y 2 — Y 1 und Y 2 — Y 
dasselbe Vorzeichen, d. h. die dritte Kurve verliefe nicht zwischen 
der ersten und zweiten Kurve. 
Deshalb ist es nicht möglich, durch den Kurvenpunkt M 
eine Gerade zu ziehen, die in der Umgebung des Berührungs 
punktes M zwischen der Kurve und ihrer Tangente verliefe. 
Denn eine Sekante durch M berührt — so dürfen wir sagen 
— die Kurve in der nullten Ordnung, also in einer niedrigeren 
als die Tangente. 
216. Definition des Oskulierens. K bezeichne eine 
gegebene Kurve y = fix)] wir nehmen an, daß die Funktion 
fix) in einer Umgebung der gerade betrachteten Stelle x = x 0 
nach dem Taylorschen Satze entwickelbar sei: 
(1) y = f{x) - y 0 + y 0 ' ix - x 0 ) + ix - x 0 ) 2 H • 
S e rret-Sch ef f e r g, Diff -u. Integr.-Reelm. I. 6. u. 7. Aufl. 24 [2\5,21G