372 Kap. VII. Theorie der ebenen Kurven
Dann wird die Gleichung der Geraden:
V\ — Vo — yd 0 x - x o)>
also in der Tat die Gleichung der Tangente im Punkte (x 0 , y 0 ).
Ihre laufenden Koordinaten sind x und y 1 .
Die allgemeine Kegelschnittsgleichung enthält fünf will
kürliche Konstanten. Bringt man sie auf die Form (2) der
vorigen Nummer so kann man zeigen, daß c 0 , c 1} c 2 , c 3 , c 4
willkürlich bleiben; mithin hat der oskulierende Kegelschnitt
einer gegebenen Kurve eine Berührung von mindestens vierter
Ordnung mit dieser Kurve. In gewissen besonderen Fällen
kann die Berührung eine höhere Ordnung haben. So gibt es
z. B. auf einer Kurve dritter Ordnung im allgemeinen 27 Punkte,
in denen der oskulierende Kegelschnitt eine Berührung fünfter
Ordnung mit der Kurve eingeht. Wenn man Kegelschnitte
betrachtet, die noch anderweitigen bestimmten Bedingungen
genügen sollen, wird die Zahl der willkürlichen Konstanten
kleiner als fünf, und der oskulierende Kegelschnitt hat dann
im allgemeinen eine Berührung von niedrigerer als vierter
Ordnung. Dieser Fall tritt z. B. ein, wenn man nur Parabeln
betrachtet, die von vier Konstanten abhängen, oder Kreise, die
von drei Konstanten abhängen. Diesen letzten Fall wollen wir
genauer untersuchen.
218. Der oskulierende Kreis. Die allgemeine Gleichung
eines Kreises enthält drei Konstanten, nämlich die Koordinaten
a, b des Mittelpunktes und den Radius R. Man kann daher
im allgemeinen in einem Punkte (cc, y) einer gegebenen Kurve
nur eine Berührung zweiter Ordnung mit einem Kreise her
steilen. Die Bedingungen dieser Oskulation sind:
i 1 ) Vi = V> Vd = V* yd' ~ y" i
wenn y x die Ordinate des zu x gehörigen Punktes des Kreises
bezeichnet. Die Gleichung des Kreises ist:
(x-ay + (y 1 -by = R\
Differenziert man sie zweimal, so folgt:
(x — a) + (y x — b)yd= 0,
(2) 1+ 0
217. 218]
(3)
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