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§ 8. Oskulierende Kurven 
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Ersetzt man y x , yf, y ± " durch die Werte (1), so kommt: 
i (x — a) 2 + (y — bf = R\ 
(3) j {x — a) + {y — b)y = 0, 
' 1 + y'* + {y-V)y”= 0, 
woraus sich die Koordinaten a, b des Mittelpunktes und der 
Radius R des im Kurvenpunkte (x, y) oskulierenden Kreises 
berechnen lassen. Dabei gehen die in Nr. 197 unter (6) und 
(1) für x x , y x und Ri gefundenen Werte hervor, so daß wir 
zum Krümmungskreise des Kurvenpunktes (x, y) kommen. 
Satz 20: ln der Ebene ist von allen Kreisen durch einen 
Tunkt einer Kurve der Krümmungskreis dieses Punktes derjenige, 
der die Kurve dort in der höchsten, nämlich in mindestens zweiter 
Ordnung berührt. 
Er wird die Kurve dort im allgemeinen in gerade zweiter 
Ordnung berühren, d. h. die Kurve im Berührungspunkte nach 
Satz 19 in Nr. 215 durchsetzen. Dagegen berührt er sie in 
mindestens dritter Ordnung, wenn auch die Bedingung yf"— y" 
an der Stelle {x, y) erfüllt ist. Nochmalige Differentiation 
von (2) gibt dafür, wenn darin y 1 ,y 1 ', yj', yj" durch y, y, y", y" 
ersetzt werden, die Bedingung: 
3 y'y” + (y — b)y"’= 0 
oder, wenn y — b aus der letzten Gleichung (3) hierin ein 
gesetzt wird: 
Sy'y" 2 — (i + y'*)y"' = 0. 
Diese Bedingung ist dieselbe wie die Gleichung (3) in Nr. 200. 
Daher sind diejenigen Punkte einer Kurve, in denen sie mit 
ihrem Krümmungskreise eine Berührung von höherer als zweiter 
Ordnung eingeht, die Scheitel der Kurve. 
Satz 21: Die Scheitel einer ebenen Kurve, also diejenigen 
Punkte (x, y) der Kurve, in denen das Differential dR des 
Krümmungsradius R gleich Null ist, sind identisch mit den 
Punkten, in denen die Kurve vom Krümmungskreise in höherer 
als ziveiter Ordnung berührt wird. Die Bedingung dafür ist 
3y'y">-(1 + y'*)y"'=o, 
wenn y, y", y" die Ableitungen von y nach x bedeuten. 
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