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Kap. VII. Theorie der ebenen Kurven 
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Da in einem Scheitel das Differential dB des Krümmungs 
radius verschwindet, ist der Scheitel ein Punkt, in dem die 
erste notwendige Bedingung für das Vorhandensein eines Maxi 
mums oder Minimums des Krümmungsradius erfüllt wird (vgl. 
Nr. 140). Man kann nun, wenn man will, zwischen eigent 
lichen und uneigentliehen Scheiteln (ähnlich wie zwischen eigent 
lichen und uneigentlichen Wendepunkten in Nr. 172) unter 
scheiden, d. h. als eigentliche Scheitel nur solche Kurvenpunkte 
bezeichnen, in denen nicht nur dB = 0, sondern wirklich ein 
Maximum oder Minimum des Krümmungsradius vorhanden ist. 
Im allgemeinen wird mit dB = 0 nicht auch d 2 B .= 0 sein, 
d. h. im allgemeinen wird der Scheitel ein eigentlicher Scheitel 
sein (vgl. Satz 1, Nr. 142). Wir werden nur die erste not 
wendige Bedingung dB = 0 für einen Scheitel voraussetzen. 
Sollen alle Kurvenpunkte Scheitel sein, so muß für alle 
Werte von x die Bedingung des Satzes 21 erfüllt sein. Nun 
aber ist, wenn x 1; y t die Koordinaten des Krümmungsmittel 
punktes bedeuten, nach (6) in Nr. 197: 
(4) 
x — 
( 1 ± v _*_) v 
y" 
yi=y + 
i +y * 
y" 
also, wenn vollständig nach x differenziert wird: 
I 4s - ¡£r[W’-(i + y”)sn, 
so daß aus der Bedingung des Satzes dx 1 — 0 und dy x = 0 folgt, 
also x x = konst. und y x = konst. Dasselbe ergibt sich wegen 
dB = 0 auch ohne weiteres aus den Formeln (2) von Nr. 200. 
Da B = konst. ist, sind dann alle Krümmungskreise der Kurve 
miteinander identisch, d. h. die Kurve ist dieser Kreis selbst. 
Hierbei war die Annahme y" = 0 ^auszuschließen. Im Falle 
y" = 0 aber ist y = ax + b, d. h. es liegt eine Gerade vor, 
die überall mit ihrem Krümmungskreise zusammenfällt. Daher: 
Satz 22: Die einzigen ebenen Kurven, die überall Scheitel 
haben, sind die Geraden und Kreise] 
Das rechtfertigt nachträglich unsere Aussage, daß die 
Punkte einer Kurve im allgemeinen keine Scheitel sind. 
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