§ 1. Die Fläche und das Bogenelement der Kegelschnitte 377 
kann sich daher nach Satz 8 in Nr. 29 von dieser Funktion 
nur um eine additive Konstante unterscheiden. Ferner werden 
beide Funktionen für # = 0 ebenfalls gleich Null; mithin muß 
die Konstante auch gleich Null sein. Daher ergibt sich: 
U = ^y^px . X — -fxy. 
Diese Gleichung besagt, daß die Parabelfläche OPM gleich 
zwei Dritteln der Fläche des Rechtecks OPMQ ist. Des 
gleichen ist die Fläche OM'P gleich zwei Dritteln des Recht 
ecks OPM' Q'• mithin ist das Segment MOM' auch gleich 
zwei Dritteln des Rechtecks Q'M'MQ. 
220. Die Ellipsenfläche. Es seien 2 a und 2 b die 
Längen der Haupt- und Nebenachse einer Ellipse, und diese 
beiden Achsen mögen auf den Koordinatenachsen liegen. Nun 
soll die Fläche u bestimmt werden, die zwischen den beiden 
Achsen, dem Bogen BM und der Ordinate y = PM liegt 
(siehe Fig. 46). Wird der Kreis konstruiert, 
der die große Achse 2 a zum Durchmesser 
hat, und mit u x die Fläche bezeichnet, die 
zwischen den Achsen, dem Kreisbogen P> M' 
und der Ordinate y x = PM' liegt, so ist 
nach Satz 11 von Nr. 192: 
du = ydx, du 1 =y i dx. 
Da aber y x und y die Ordinaten des Kreises 
und der Ellipse für dieselbe Abszisse sind, ist bekanntlich 
y x : a = y :b, also: 
du = — du,. 
a 1 
Mithin haben die Größen u und bu x : a dasselbe Differential, 
und weil beide mit x verschwinden, sind sie nach Satz 8 
von Nr. 29 einander gleich, d. h. es ist: 
B 
Fig. 46. 
u = — u, 
a 1 
Danach kann die Fläche u bei der Ellipse ohne weiteres aus 
der entsprechenden Fläche u x beim Kreise berechnet werden. 
Die ganze Kreisfläche ist gleich na 2 , die ganze Ellipsenfläche 
demnach gleich nab. 
[219, 220 
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