§ 2. Krümmung der Kegelschnitte
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liegen zwischen den Brennpunkten F und F' der Ellipse, weil
a x < c ist. Ferner erkennt man aus den Gleichungen (2), daß
der zu einem Quadranten der Ellipse
gehörige Quadrant der Evolute auf der
andern Seite der Hauptachse neben
ihm liegt. Auch kann man bemerken,
daß die Evolute ganz innerhalb der El
lipse liegt, wenn b x < &, d. h. a < b Y2
ist. Sie trifft die Ellipse gerade in den
Nebenscheiteln, wenn a = t VS ist,
schneidet dagegen die Ellipse in vier
Punkten, wenn a > b |/2 ist. Die
Krümmungsradien der Ellipse in den Neben- und Haupt
scheiteln haben die Längen b -f- b x und a — a x oder a 2 : b und
b 2 : a. Die Länge eines Quadranten der Evolute ist folglich
nach Satz 15 von Nr. 200 gleich:
a 2 b 2 a s — b 3
b a ab
Differenziert man die Gleichung (3) zweimal, so folgt:
JL/M V/M ^ d Vi . o
«i \«! / ' b x V&j / dx t ’
1 J_ (yi\-*d*yi = 0
3 a, Ha,/ 3&, 2 Vö,/ \dxj ' b x \&i / die,*
und hieraus:
dy x = _ 5 i/i^ , = &i 3
dx-t /
1 4 4
1 3 a-FxFVi
Der Krümmungsradius der Evolute wird also nach (1),
Nr. 197:
Der Wert dy l \dx 1 wird gleich Null bzw. gleich oo in den
Schnittpunkten 6r, Gr' bzw. H, H' mit der großen und kleinen
Achse. Nach Nr. 218 sind diese vier Punkte Spitzen, indem
sie zu den Scheiteln der Ellipse gehören. Der Wert von
d 2 y x : dx 2 hat immer dasselbe Vorzeichen wie y x . Die Evolute
25* [£38