Full text: Differentialrechnung (1. Band)

§ 2. Krümmung der Kegelschnitte 
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liegen zwischen den Brennpunkten F und F' der Ellipse, weil 
a x < c ist. Ferner erkennt man aus den Gleichungen (2), daß 
der zu einem Quadranten der Ellipse 
gehörige Quadrant der Evolute auf der 
andern Seite der Hauptachse neben 
ihm liegt. Auch kann man bemerken, 
daß die Evolute ganz innerhalb der El 
lipse liegt, wenn b x < &, d. h. a < b Y2 
ist. Sie trifft die Ellipse gerade in den 
Nebenscheiteln, wenn a = t VS ist, 
schneidet dagegen die Ellipse in vier 
Punkten, wenn a > b |/2 ist. Die 
Krümmungsradien der Ellipse in den Neben- und Haupt 
scheiteln haben die Längen b -f- b x und a — a x oder a 2 : b und 
b 2 : a. Die Länge eines Quadranten der Evolute ist folglich 
nach Satz 15 von Nr. 200 gleich: 
a 2 b 2 a s — b 3 
b a ab 
Differenziert man die Gleichung (3) zweimal, so folgt: 
JL/M V/M ^ d Vi . o 
«i \«! / ' b x V&j / dx t ’ 
1 J_ (yi\-*d*yi = 0 
3 a, Ha,/ 3&, 2 Vö,/ \dxj ' b x \&i / die,* 
und hieraus: 
dy x = _ 5 i/i^ , = &i 3 
dx-t / 
1 4 4 
1 3 a-FxFVi 
Der Krümmungsradius der Evolute wird also nach (1), 
Nr. 197: 
Der Wert dy l \dx 1 wird gleich Null bzw. gleich oo in den 
Schnittpunkten 6r, Gr' bzw. H, H' mit der großen und kleinen 
Achse. Nach Nr. 218 sind diese vier Punkte Spitzen, indem 
sie zu den Scheiteln der Ellipse gehören. Der Wert von 
d 2 y x : dx 2 hat immer dasselbe Vorzeichen wie y x . Die Evolute 
25* [£38
	        
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