§ 3. Die gemeine Zykloide 391 
Hilfsyeränderlichen cp gegeben. Mit icachsendem cp wächst x 
ebenfalls. 
232. Tangente und Normale der gemeinen Zy 
kloide. Durch Differentiation der Gleichungen (1) der vorigen 
Nummer folgt: 
(1) dx = a(l— coscp)dcp, dy = a sing? dcp. 
Nach Nr. 170 ist daher die Subnormale ydy.dx der Zykloide 
gleich a sin cp, also die Strecke PCr, so daß die Normale des 
Punktes ilI der Zykloide durch G und mithin die Tangente 
durch H geht. Die Tangente des Punktes M können wir, ohne 
den Kreis durch M zu ziehen, mit Hilfe irgendeines der 
Kreise vom Radius a leicht konstruieren, z. B. mit Hilfe des 
Kreises, der den höchsten Punkt C der Kurve enthält, wie nach 
Fig. 54, S. 389, sofort einleuchtet, worin Mm zur rr-Achse 
parallel, also mC zur gesuchten Tangente von M parallel ist. 
Die beiden Differentiale (1) verschwinden für <p = 0 und 
cp — 2 7t-, daher sind die Punkte, in denen die Zykloide die 
x-Achse trifft, nach Nr. 191 singulär und zwar augenschein 
lich Spitzen. 
Mittels der Gleichungen (1) und (3) der vorigen Nummer 
kann man den Ausdruck für die Subnormale auf die Form 
(2) PG = V2ay-y» 
bringen, und da MG 2 = PG 2 y 2 ist, wird: 
(3) MG = — 2a sin-|<jp, 
wo das Minuszeichen gesetzt werden mußte, weil die Normale 
nach Nr. 170 dasselbe Vorzeichen wie — y hat. 
Schreibt man in (2) für die Subnormale PG ihren Wert 
yy\ so erhält man die Differentialgleichung der gemeinen Zy 
kloide (vgl. Nr. 86): 
(4) *" 
Diese Gleichung gilt nicht nur für die Zykloide, die wir hier 
betrachten, sondern für alle Zykloiden, die durch Abrollen eines 
Kreises vom Radius a längs der ¿r-Achse und zwar auf der 
selben Seite dieser Achse hervorgehen, also für alle, die durch 
x = a(cp — sin cp) + konst., y = a(l — cos cp) 
[231, 232