392 Kap. VIII. Anwendungen der Theorie der ebenen Kurven 
dargestellt werden, da hier y- und y' von der willkürlichen 
Konstante frei sind. 
Es ist mitunter von Vorteil, den Anfangspunkt der Koor 
dinaten in den Scheitel G der Zykloide (vgl. Satz 23 in Nr. 218 
und Fig. 54) zu verlegen und die positive Tangente von C 
als neue positive J-Achse und die Parallele zur positiven y-Achse 
durch C als neue positive ty-Achse zu wählen. Dann ist x = 
na £, y = 2a + t) zu setzen, so daß die Differentialgleichung 
(4) übergeht in: 
b _ 
2a-f 1) 
233. Fläche der gemeinen Zykloide. Bezeichnet man 
mit u die Fläche zwischen der Zykloide, der 3>Achse und der 
Ordinate PM = y, siehe Fig. 54, S. 389, so findet man nach 
Satz 11 von Nr. 192 für das Differential der Fläche: 
du = ydx = a 2 (l — cos<p) 2 dcp = a 2 (l — 2 cosqp -j- cos 2 cp)dcp. 
Setzt man hierin für cos 2 <p den Wert *(1 + cos2cp) ein, so 
kommt: 
du = a 2 (-§ — 2 cosgp + \ cos2cp)dcp. 
Die rechte Seite ist das Differential der Funktion 
a 2 (f<p — 2 sinqp -f- | sin2(p), 
die ebenso wie u für <p = 0 verschwindet. Folglich ist nach 
Satz 8 von Nr. 29: 
u = a 2 (|cp — 2 sin(p -j- ~ sin29?). 
Will man die ganze Fläche bestimmen, die von einer Pe 
riode der Kurve und der Bahngeraden begrenzt wird, so hat 
man cp = 2n zu setzen. Dann ergibt sich 3xa 2 , d. h.: Die 
ganze Fläche eines Bogens der gemeinen Zykloide ist gleich 
dem Dreifachen der Fläche des erzeugenden Kreises. 
234. Rektifikation der gemeinen Zykloide. Die 
Gleichungen (1) in Nr. 232 geben: 
dx 2 -f- dy 2 — 2a 2 (l — cos<p)(?<p 2 = 4a s sin 2 1 cpdcp 2 , 
also nach (2) in Nr. 193 das Bogenelement: 
ds = 2a, sinjcpdcp. 
232, 233, 234]