§ 3. Die gemeine Zykloide 
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Die rechte Seite ist das Differential von — 4a cosiqp; daher 
hat die Bogenlänge s nach Satz 8 von Nr. 29 einen Wert von 
der Form: 
s = — 4a cos jcp + konst. 
Wird die Spitze A als Anfang des Bogens gewählt, so ist 
s = 0 für cp — 0, also 0 = —- 4a -j- konst., d. h. konst. = 4a 
und daher: 
s = 4a(l — cos 2 cp) = 8a sin 2 ^(p. 
Die ganze Länge eines der sich periodisch wiederholenden 
Bogen der Zykloide ergibt sich für cp — 2 л und ist mithin 
gleich 8a, dem Vierfachen des Durchmessers des rollenden 
Kreises. 
235. Krümmungsradius der gemeinen Zykloide. 
Der Tangentenwinkel t der Zykloide ist gleich j(a — cp) } da 
her der Kontingenzwinkel dt = — ~dcp, folglich der Krüm 
mungsradius R — — 2äs'.dcp. Nach voriger Nummer wird 
aber ds : dcp = 2a sin-^qp. Somit kommt mit Rücksicht auf (3) 
in Nr. 232: 
B, = — 4a sin| cp = 2MG, 
d. h. der Krümmungsmittelpunkt N geht hervor, wenn man 
die Normale MG, die ja negativ ist, über G hinaus bis N 
verdoppelt. Siehe Fig. 54, S. 389. 
236. Evolute der gemeinen Zykloide. Wenn man 
den Durchmesser HG des Kreises des Punktes M über G 
hinaus um die eigene Länge bis L verlängert (siehe immer 
Fig. 54 auf S. 389), erkennt man, daß der soeben gefun 
dene Krümmungsmittelpunkt N auf dem Kreise liegt, der GL 
zum Durchmesser hat. Wir ziehen in L die Tangente LE dieses 
Kreises parallel zur ж-Achse. Der Bogen LN des Kreises ist 
gleich GH oder LE, wenn E den Endpunkt der Strecke vor 
stellt, die durch Verdoppeln von CD über D hinaus entsteht. 
Hieraus folgt, daß die Evolute der gemeinen Zykloide auch 
eine gemeine Zykloide ist, nämlich die Bahn des Punktes N 
des Kreises über GL, wenn dieser Kreis auf der Geraden LE 
rollt. Wenn für die ursprüngliche Zykloide der beschreibende 
Punkt auf der Rollbahn selbst liegt (z. B. in Ä), ist der zu 
gehörige Punkt der Evolute an einer höchsten Stelle des 
[834, 835, 836