Full text: Differentialrechnung (1. Band)

394 Kap. VIII. Anwendungen der Theorie der ebenen Kurven 
unteren rollenden Kreises (nämlich auch in A) gelegen. Beide 
Zykloiden sind kongruent, jedoch nicht in einander zugehörigen 
Teilen. 
Daß die Evolute eine kongruente Zykloide sein muß, er 
kennt man auch, ohne zu wissen, daß N der Krümmungs 
mittelpunkt von 31 ist. Denn wenn der untere Kreis auf der 
Geraden LE rollt, beschreibt N eine Zykloide mit der Tan 
gente 3IGN. Diese Tangente ist Normale der oberen Zykloide. 
Die untere muß also nach Satz 14 von Nr. 200 die Evolute 
der oberen Zykloide sein. 
Endlich ergibt sich dasselbe auch leicht aus den Glei 
chungen für die Koordinaten x 1} y 1 des Krümmungsmittel 
punktes. Die Differentiation der Gleichungen (1) in Nr. 232 
liefert nämlich: 
d 2 x = a sin cp dtp 2 , d 2 y = a cos cp dtp 2 . 
Aus (1) in Nr. 199 folgt also für die Evolute: 
x t — a(cp -f sin cp), y x = — a(l — cos cp). 
Verschiebt man nun die Koordinatenachsen so weit parallel, 
bis der Punkt E, dessen Koordinaten na und — 2a sind, der 
Anfangspunkt wird, so sind J 1 =a: 1 — 7ta und ^=^+2« die 
neuen Koordinaten des Punktes (x l} y x ). Wenn außerdem 
cp x = cp — 7t gesetzt wird, kommt: 
Ei = — sin 9>i), = «(1 — cos cp t ). 
Die Evolute ist also nach (1) in Nr. 231 zur ursprünglichen 
Zykloide kongruent. 
Auch diese Eigenschaft der gemeinen Zykloide führt nach 
Satz 15 von Nr. 200 unmittelbar zu ihrer Rektifikation, die 
rechnerisch schon in Nr. 234 ausgeführt wurde. Denn der 
Bogen EN der Evolute ist gleich der Differenz 
EC — N31 = 4a — 4a sin $cp 
zwischen den Krümmungsradien der Punkte C und 31. An 
dererseits sieht man, daß der Bogen s = A31 erhalten wird, 
wenn man in diesem Ausdrucke 7t — cp statt cp setzt; also 
kommt wie in Nr. 234: 
s = 4a — 4a cos 4 cp = Sa sin 2 4 <P- 
236]
	        
Waiting...

Note to user

Dear user,

In response to current developments in the web technology used by the Goobi viewer, the software no longer supports your browser.

Please use one of the following browsers to display this page correctly.

Thank you.