394 Kap. VIII. Anwendungen der Theorie der ebenen Kurven
unteren rollenden Kreises (nämlich auch in A) gelegen. Beide
Zykloiden sind kongruent, jedoch nicht in einander zugehörigen
Teilen.
Daß die Evolute eine kongruente Zykloide sein muß, er
kennt man auch, ohne zu wissen, daß N der Krümmungs
mittelpunkt von 31 ist. Denn wenn der untere Kreis auf der
Geraden LE rollt, beschreibt N eine Zykloide mit der Tan
gente 3IGN. Diese Tangente ist Normale der oberen Zykloide.
Die untere muß also nach Satz 14 von Nr. 200 die Evolute
der oberen Zykloide sein.
Endlich ergibt sich dasselbe auch leicht aus den Glei
chungen für die Koordinaten x 1} y 1 des Krümmungsmittel
punktes. Die Differentiation der Gleichungen (1) in Nr. 232
liefert nämlich:
d 2 x = a sin cp dtp 2 , d 2 y = a cos cp dtp 2 .
Aus (1) in Nr. 199 folgt also für die Evolute:
x t — a(cp -f sin cp), y x = — a(l — cos cp).
Verschiebt man nun die Koordinatenachsen so weit parallel,
bis der Punkt E, dessen Koordinaten na und — 2a sind, der
Anfangspunkt wird, so sind J 1 =a: 1 — 7ta und ^=^+2« die
neuen Koordinaten des Punktes (x l} y x ). Wenn außerdem
cp x = cp — 7t gesetzt wird, kommt:
Ei = — sin 9>i), = «(1 — cos cp t ).
Die Evolute ist also nach (1) in Nr. 231 zur ursprünglichen
Zykloide kongruent.
Auch diese Eigenschaft der gemeinen Zykloide führt nach
Satz 15 von Nr. 200 unmittelbar zu ihrer Rektifikation, die
rechnerisch schon in Nr. 234 ausgeführt wurde. Denn der
Bogen EN der Evolute ist gleich der Differenz
EC — N31 = 4a — 4a sin $cp
zwischen den Krümmungsradien der Punkte C und 31. An
dererseits sieht man, daß der Bogen s = A31 erhalten wird,
wenn man in diesem Ausdrucke 7t — cp statt cp setzt; also
kommt wie in Nr. 234:
s = 4a — 4a cos 4 cp = Sa sin 2 4 <P-
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