§ 1. Tangenten und Normalen 
415 
[252 
solche Richtungen einschließen, deren Richtungskosinus gleich 
«i, ßi> 7i a 2> ßs> 7% sind ; den Wert «i«s + ßiß* + 7i72 
hat, woraus folgt, daß beide Richtungen dann und nur dann 
zrieinander senkrecht sind, wenn diese Summe gleich Null ist. 
Normalebene des Kuryenpunktes M oder (x, y, z) heißt 
die Ebene aller Normalen des Punktes M, d. h. aller derjenigen 
Geraden, die in M auf der Tangente senkrecht stehen. Ist 
(?, b> ä) ein beliebiger Punkt der Normalebene, so sind 
£ — x, b — y, l — 2 proportional zu den Richtungskosinus der 
Normale MlUl. Da andererseits x', y, z zu den Richtungs 
kosinus der Tangente proportional sind, drückt die Gleichung 
(4) 
«'(£ — x)+ y{ t) — y)+2(h — 0)=* 0 
aus, daß der Punkt ÜD7 oder (j, b, 5) in der Normalebene von 
M liegt. Dies ist also in den laufenden Koordinaten £, b; 5 
die Gleichung der Normalebene des Kurvenpunktes ([x,y,z). 
Aus (1) geht die besondere Darstellung 
(5) 
V ~ f{*), * ~ 'j( x > 
der Kurve hervor, wenn wir t = x annehmen und dement 
sprechend cp(t) = x, dagegen %(t) und rf>(t) gleich f(x) und 
g(x) setzen. Als positiver Sinn auf der Kurve gilt dann der 
jenige, in dem die unabhängige Veränderliche x zunimmt. Jetzt 
ist x = 1, y = f'(x), z = g (x), so daß nach (2): 
(6) \)-y = f{x){l — x), 1-z = g\x)(£-x) 
die Gleichungen der Tangente und nach (3): 
die Richtungskosinus der Tangente sind. Die Quadratwurzel 
ist dabei positiv. Nach (4) wird ferner in diesem Falle die 
Gleichung der Normalebene: 
(8) (£ — #)+ f 0) (9 - y) + /0)(s — *) = 0 
in den laufenden Koordinaten £, b, l- Hiernach stellt (3) in 
Nr. 147 die Normalebene in den laufenden Koordinaten a, b, c 
dar, während die Formeln (4) in Nr. 160 besagen, daß dort 
MM' Normale beider Kurven ist.