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Kap. IX. Theorie der Ilamukurven und Flächen 
(6) F x (g - x) + F y (1) -y) + F,(a - z) - 0, 
wenn g, 1), § wie immer die laufenden Koordinaten bedeuten. Da 
dF = F x dx -f- + F t dz 
ist, stellt also das gleich Null gesetzte vollständige Differential 
dF von F die Tangentenebene dar, sobald die Differentiale 
äx, dy, dz als die Differenzen g — x, t) — y, J — z aufgefaßt 
werden. Die Normale des Flächenpunktes M hat, weil sie auf 
der Ebene (6) senkrecht steht, in den laufenden Koordinaten 
g, t), S die Gleichungen: 
(?) 
g — x 
F_ 
h — y 
F, 
b — z 
F. 
Ihre Richtungskosinus sind somit proportional zu F x , F y} F t . 
Wir wollen sie mit X, Y, Z bezeichnen. Dann ist: 
(8) 
X 
F.. 
z 
VFl + Ff+F* 
F. 
VFl + Fl + F* 
Wenn wir hierin der Quadratwurzel das Pluszeichen ver 
schreiben, haben wir der Normale einen positiven Sinn beigelegt. 
Wir untersuchen, welche geometrische Bedeutung diese Fest 
setzung hat. Es sei (g, l), a) derjenige Punkt der Normale, 
der hervorgeht, wenn ein Punkt vom Flächenpunkte M oder 
(x, y, z) aus um eine Strecke s im positiven Sinne auf der Nor 
male fortschreitet. Alsdann ist g — x= Xs usw., also g = x -f Xs 
usw. Bilden wir die Funktion F für das Wertsystem g, t), a 
statt für x, y, z, so kommt also: 
V) ä) = F(x -f- Xs, y -f- Es, z -f- Zs). 
Dieser Wert ist natürlich nicht gleich Null, da der Punkt 
(g, tj, a) »icht auf der Fläche liegt. Nach Satz 24 von Nr. 110 
kommt, da rechts eine Funktion von s steht: 
D, ä) - F(x, y,,) + (F,X +F V Y + F,Z)s + Ti, 
wobei s nach Satz 22 von Nr. 115 so klein gewählt werden 
kann, daß der Rest F ohne Einfluß auf das Vorzeichen der 
rechten Seite ist. Wegen (8) folgt hieraus: 
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