§ 1. Tangenten und Normalen 
421 
255. Tangentialkegel. Gegeben sei außer einer Fläche 
F(x, y, s) = 0 ein Punkt M 0 oder (x 0 ,y 0 ,z 0 ) im Räume. Wir 
betrachten diejenigen Tangentenebenen der Fläche, die durch 
3I 0 gehen. Ist (x, y, 2) oder 31 der Berührungspunkt einer 
derartigen Ebene, so bestehen nach (6) in Nr. 253 für x, y, 2 
die beiden Gleichungen: 
(1) F{x,y, 2) = 0, F x (x- x 0 ) + F v (y — y 0 ) + F z {z - 2 0 ) = 0. 
Diese beiden Gleichungen in x, y, 2 definieren zusammen eine 
Kurve Je von Punkten M auf der Fläche, nämlich den Ort aller 
derjenigen Punkte 31 der Fläche, deren Tangentenebenen durch 
3I 0 gehen. Die Gerade von irgendeinem Punkte 31 der Kurve 
Je nach 3I 0 ist eine Tangente der Fläche; die Gesamtheit aller 
dieser Geraden heißt der TangentialJcegel, der von der Spitze 
3I 0 aus an die Fläche gelegt werden kann. Ist (j, t), §) irgend 
ein Punkt auf einer der Geraden 313I 0 , so ist: 
S — a? 0 = 9 —y 0 = i~ z o 
x x 0 y y 0 Z Zq 
(2) 
Die Gleichung des Tangentialkegels in den laufenden Koordi 
naten £, p, § geht mithin durch Elimination von x, y, 2 aus 
den vier Gleichungen (1) und (2) hervor. Da die Tangenten 
ebene eines Punktes 3f der Kurve Je auf der Fläche außer der 
Mantellinie JIOf 0 des Kegels die Tangente der Kurve Je ent 
hält, ist sie zugleich diejenige Tangentenebene des Kegels, die 
den Kegel in allen Punkten der Mantellinie M3£ 0 berührt. 
Man sagt daher, daß der Tangentialkegel von 3f Q der Fläche 
längs der Kurve Je umschrieben sei. 
Stellen wir uns vor, der Punkt 3i Q rücke auf irgend 
einer Geraden durch den Anfangspunkt 0 ins Unendlichferne, 
indem beständig x 0 , y 0 , 2 0 zu drei Konstanten a, b, c propor 
tional bleiben, so gelangen wir zum Begriffe desjenigen Tan 
gentialzylinders, dessen Mantellinien Richtungskosinus propor 
tional zu a, b, c haben. 
256. Homogene Koordinaten im Raume. Wie wir 
in Nr. 175 homogene Koordinaten in der Ebene einführten, 
können wir auch im Raume statt der drei rechtwinkligen 
Koordinaten x, y, 2 eines Punktes 31 vier homogene Koordinaten 
x 1} x 2 , x 3 , x 4 benutzen, indem wir 
[255, 356