§ 1. Tangenten und Normalen 
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§ 1. Tangenten und Normalen 423 
D *a nur ihre 
ein abendlich 
! ^akt aller 
sind, 
so stellt 
homogene Koordinaten g 4 , g 2 , £ 3 , £4 ein, so kommt, wenn wir 
noch mit £ 4 multiplizieren: 
U Xi h + U Xz h + ü Xi h -1; (U x x x + U x x 2 + U x x 3 ) = 0. 
Da V homogen vom n tea Grade ist, wird der Inhalt der Klam 
mer nach Satz 9 von Nr. 91 gleich nJJ — U Xt X A , also wegen 
(3) gleich — U x x±. Mithin ist 
(4) U Xl üi + U x j 2 + U Xi h + UxJU = 0 
tob'n nullten 
öleichons; 
* linke Seite 
i nmwandeln. 
Grades топ 
finde. Eine 
angeändert 
multipliziert 
mitipliziera, 
»llein: 
in den laufenden homogenen Koordinaten j 1; £ 2 , hi h die Glei 
chung derjenigen Tangentenebene der Fläche (3), deren Berüh 
rungspunkt die homogenen Koordinaten x x , x 2) x 3 , x x hat. 
Ist eine Kurve als Schnittkurve zweier Flächen 
(5) G(x x , x 2} x ä , xj) — 0, V(x x , , x.., xf) — 0 
gegeben, so wird die Tangente eines Punktes der Kurve durch 
die Gleichung (4) und die Gleichung 
V Xl h + Vxjh + F r , h + = 0 
in den laufenden homogenen Koordinaten g 4 , £ 2 , hi h gegeben. 
Eine Fläche heißt algebraisch von der w ten Ordnung, wenn 
ж FwÜm 
sie in homogenen Koordinaten durch eine Gleichung U = 0 
dargestellt werden kann, deren linke Seite U eine homogene 
ganze rationale Funktion n ten Grades ist. In der Gleichung (4) 
drei Verhalt- 
'unktion der 
der Tangentenebene steht dann links eine homogene ganze 
rationale Funktion (n — l) ten Grades von x X) x 2 , x 3) x±. Legen 
wir von einem bestimmten Punkte (j 4 , £ 2 , £ 3 , £ 4 ) des Raumes 
L da nack(l') 
den Tangentialkegel an die Fläche (vgl. Nr. 255), so wird die 
Berfthrungskurve k durch die beiden Gleichungen (3) und (4) 
in den laufenden Koordinaten x 1} x 2 , x 3 , x± gegeben. Da 
n 
r-t’ 
man nun die Schnittkurve zweier algebraischer Flächen von 
w ter und m ter Ordnung eine algebraische Kurve von der nm tea 
wird mithin: 
Ordnung nennt, ist also k eine algebraische Kurve von der 
n(n — l) ten Ordnung. 
0. 
Die soeben gegebene Definition der algebraischen Kurven 
u\ sondern 
idge 
kommt, wenn die eine Fläche eine Ebene ist, auf die Definition 
der ebenen algebraischen Kurven in Nr. 177 zurück, da die Ebene 
eine algebraische Fläche erster Ordnung ist. 
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