§ 2. Bogenelement einer Ran in kurve. 
257. Ableitung 1 der Bogenlänge. Gegeben sei eine 
Kurve durch die Gleichungen: 
(1) % = (p(t), y = l(ß), e — tKt). 
Wie in Nr. 193 bei den ebenen Kurven können wir auch bei 
den Raumkurven die Bogenlänge schon jetzt besprechen, in 
dem wir uns ihre exakte analytische Definition für den zweiten 
Band Vorbehalten. Ist C ein bestimmter Punkt der Kurve, so 
durchlaufen wir sie von C an im Sinne wachsender Werte der 
Hilfsveränderlichen t bis zu einer beliebigen Stelle M, die zu 
einem allgemeinen Werte t gehört. Zu diesem Kurvenstücke 
C31 gehört eine Bogenlänge s, die eine Funktion von t sein 
wird. Wir suchen ihre Ableitung ds : dt. Zu diesem Zwecke 
lassen wir t zunächst um einen beliebigen Wert zit wachsen. 
Der Punkt M oder (x, y, z) gehe dabei in den Punkt M' 
oder (x -f- /Ix, y + /ly, z + /lz) der Kurve über. Die Sehne 
MM' hat daun die Länge: 
(2) MM'=yjf+W+** -JtyO 
Wir werden im zweiten Bande beweisen, daß der Grenzwert 
des Verhältnisses der Sehne MM' zum Bogen MM' gleich 
Eins ist, wenn 31' nach 31 rückt, d. h. für limz/£ = 0, sobald 
%(t), ip(t) in dem Intervalle von t bis t -f /Jt nebst ihren 
ersten Ableitungen stetig sind. Wenn wir die Bogenlänge im 
Sinne wachsender Werte von t positiv rechnen, müssen wir 
die letzte Quadratwurzel in (2) positiv annehmen, weil dann 
3131' mit /1t positiv ist. Es ergibt sich nun aus (2): 
• Bogen MM' Sehne MM' _-i //Jx\ 2 /Jy\ 3 ( J: \~ 
dt Bogen MM' ~ I W</ ‘ \di) ' \Jt) 
Für lim z/f = 0 geht, wie gesagt, der zweite Bruch links in 
Eins über, dagegen der erste in die Ableitung ds: dt des 
Bogens s nach t. Also kommt: 
(3) 
wo die Wurzel positiv ist. Hiernach hat das Differential der 
Bogenlänge, das man auch das Boyenelement nennt, den Wert: 
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