§ 2. Bogenelement einer Raumkurve 
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(4) ds = ydx 2 + dy 2 + dz 2 . 
Die Wurzel ist positiv oder negativ, je nachdem das Diffe 
rential dt der unabhängigen Veränderlichen positiv oder nega 
tiv gewählt worden ist. 
Ist die Kurve insbesondere in der Form 
V = f(x), z = g{x) 
gegeben, so tritt x an die Stelle von t, und es kommt: 
(5) f x = I/HTW+7ö*j 8 » 
wo die Wurzel positiv ist. 
258. Das Bogenelement in Polarkoordinaten. Statt 
der rechtwinkligen Koordinaten x, y, z kann man auch die 
Polarkoordinaten r, 9, ip einführen, indem man wie in Nr. 97 
(1) x = r sin 9 cos ip, y = rsin9smtp, z = r cos 9 
setzt. Eine Kurve im Raume wird alsdann durch zwei Glei 
chungen in r, 9, ip gegeben, z. B. so: 
^=gr(0), r = R(0). 
In diesem Falle ist 9 die unabhängige Veränderliche, der posi 
tive Sinn der Kurve also der Sinn wachsender Werte von 0. 
Aus (1) folgt: 
dx = sin 9 cos ip dr -f r cos 9 cos ip dB — r sin 9 sin tp d ip, 
dy = sin 6 sin ip dr + r cos 9 sin ip dd + r sin 9 cos 7p d ip, 
dz = cos 9 dr — rsm9d9. 
Also kommt: 
dx 2 + dy 2 + dz 2 = dr 2 + r 2 d9 2 + r 2 sin 2 9 dip 2 . 
Nach (4) in voriger Nummer ist demnach das Bogendifferential: 
(2) ds — ydr 2 + r 2 d9 2 + r 2 sin 2 9 dtp 2 , 
wobei die Wurzel das Pluszeichen hat, sobald das Differential 
der unabhängigen Veränderlichen positiv ist. 
Der Ausdruck (2) läßt sich auch aus der geometrischen 
Anschauung ableiten: Der Punkt M mit den Polarkoordinaten 
r, 9, ip liegt nämlich erstens auf der Kugel um. den Anfangs 
punkt 0 mit dem Radius r, zweitens auf dem Kegel, der 
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