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Kap. IX. Theorie der Raumkurven und Flächen
durch Rotation des einen Schenkels des Winkels 0 um die
z-Achse hervorgeht, und drittens auf derjenigen Ebene durch
die z-A.chse, die mit der x-Achse den Winkel Tp bildet. Ent
sprechend liegt der Punkt M' oder (r + z/r, 0 fl- JO, ^ + ¿hfi)
auf einer Kugel, einem Kegel und einer Ebene. Diese sechs
Flächen schließen zusammen einen Pyramidenstumpf ein, dessen
Kanten nach 0 laufen und der von zwei Kugeln ausgeschnitten
wird. Die auf der Kugel vom Radius r gelegene Grundfläche
des Stumpfes ist ein krummlinig begrenztes Rechteck, und
zwar sind zwei der Grenzen Bogen von größten Kreisen einer
Kugel vom Radius r und Zentriwinkel z/0, so daß ihre Länge
rz/0 ist. Die beiden anderen Grenzen sind Bogen von Kreisen
mit den Radien r sin 0 und r sin (0 -f- z/0), die zum Zentri
winkel z/^ gehören, haben also die Längen r sin 0z/z/> und
rsin(0 -f- z/0)z/^. Die beiden Bogen rz/0 und rsin 6/1 ip bilden
mit den zugehörigen Sehnen Verhältnisse, deren Grenzwerte
für lim z/0 = 0 und limz/^ = 0 gleich Eins sind, und die
beiden Sehnen bilden miteinander einen Winkel, dessen Grenz
wert ein rechter Winkel ist. Ebenso bildet die Kante z/r des
Pyramidenstumpfes mit jenen beiden Sehnen Winkel, deren
Grenzwerte rechte Winkel sind. Ferner wird das Verhältnis
des Bogens z/s oder MM' zur Sehne MM' beim Grenzüber-
gange lim zlr = 0, lim z/0 = 0, limz/^ = 0 ebenfalls gleich
Eins. Beim Grenzübergange wird also z/s Diagonale eines
Rechtflachs mit den Seitenlängen z/r, rz/0 und r sin 0z/tf’,
so daß sich die Formel (2) ergibt.
259. Die Richtungskosinus der Kurventangente
ausgedrückt mittels des Bogendifferentials. Sind a, ß, y
wie in Nr. 252 die Richtungskosinus der Kurventangente, so
ist nach den dort gewonnenen Formeln (3), worin die Akzente
die Differentiation nach der Hilfsveräuderlichen t anzeigen:
a =
dx
\Zdx* -{- dy* -\- dz*
usw.
Die Wurzel hat das Pluszeichen, wenn die Differentiale dx,
dy, dz zu einem positiven Differential dt gehören. Nach (4)
in Nr. 257 ergibt sich daher:
(1)
258, 259]
