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Kap. IX. Theorie der Raumkurven und Flächen 
aber ein wesentlicher Unterschied ist doch vorhanden: Nach 
dem Vorhergehenden ist die Krümmung einer Kaumkurve stets 
positiv. Bei einer ebenen Kurve in der xy-Ebene dagegen war 
die Krümmung positiv oder negativ. Dies liegt daran, daß 
wir die Kurven in der ¿ry-Ebene stets von einerlei Seite der 
¡ry-Ebene her betrachtet haben. Eine ebene Kurve hat dagegen, 
als Baumkurve aufgefaßt, überall eine positive Krümmung wie 
jede andere Baumkurve. 
Zum Beweise der Existenz des Grenzwertes dö.ds von 
z/<?:z/s, den wir k nennen wollen, sei die Raumkurve durch 
die Gleichungen 
(i) 
* - 9>(0> y - xC), * = 
gegeben; zu den Werten t und t -J- Elt sollen die Punkte M 
und M' gehören. Da OM zur positiven Tangente von M 
parallel ist und die Länge Eins hat, sind die Koordinaten von 
M die Richtungskosinus a, ß, y dieser Tangente. (Vgl. Nr. 252.) 
Sie mögen, wenn M nach M' wandert, um ¿da, ¿d ß, ¿dy wach 
sen, so daß M' die Koordinaten a -¿da, ßj-dß, y-{-<dy hat. 
Jetzt ist: 
Ag Sehne MM' As 
Ag 
As 
Sehne MM' Sehne MM’ ' Sehne MM' 
Der letzte Bruch rechts hat, wie aus dem in Nr. 257 erwähnten, 
im zweiten Bande zu beweisenden Satze folgt, den Grenzwert 
Eins, falls cp, x, im Intervalle von t bis t -f- ¿dt stetige 
Funktionen mit stetigen Ableitungen erster Ordnung sind. Da 
M die Koordinaten a, ß, y hat, ist der Grenzwert des ersten 
Bruches rechts aus demselben Grunde gleich Eins, falls 
a, ß, y dieselben Bedingungen erfüllen. Unter diesen Voraus 
setzungen ergibt sich mithin als Wert der Krümmung: 
Die beiden Sehnen und MM haben die Längen: 
ö 
Yb x 2 + ¿dy 2 + ¿dz 1 und }//da*-\~ ¿dß* + ¿dy*. 
Dividieren wir mit ¿dt 2 unter den Wurzeln, so kommt: 
(2) 
»60]