§ 3. Krümmung einer Raumkurve 
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(2) «(£—«) + ß'(y — y) + — — («af + ßy + y/) = 0. 
Nach (3) in Nr. 252 ist der Inhalt der letzten Klammer gleich 
der positiven Quadratwurzel aus x 2 -f y 2 -f- z 2 , und aus (8) 
in Nr. 261 entnehmen wir die in die ersten Glieder von (2) 
einzusetzenden Werte von a, ß', y. Dann geht (2) über in: 
(3) Kl — x) + m{$ — y)+n(3 i — 8)=*B. 
Da diese Gleichung linear in g, t), § ist, stellt sie eine Ebene 
dar und zwar, weil die Koeffizienten l, m, n die Richtungs 
kosinus der Hauptnormale sind, eine zur Hauptnormale senk 
rechte Ebene, die also die Normalebene (1) in einer Parallelen 
zur Binormale schneidet. Um den Satz zu beweisen, brauchen 
wir daher nur noch zu zeigen, daß auch die Ebene (3) den 
Punkt G enthält. Die Gleichung (3) wird in der Tat befrie 
digt, wenn darin für £, ty, 5 die Werte: 
(4) x x = x + IR, y t = y + mR, z x = z -f nR 
eingesetzt werden, weil l 2 + m 2 + n 2 = 1 ist; und diese Werte 
(4) sind augenscheinlich die Koordinaten des Krümmungsmittel- 
punldes C, da er auf der positiven Hauptnormale in der Ent 
fernung R vom Punkte M liegt. 1 ) 
Wir merken noch an, daß sich x x , y x , z x nach (4) in 
Nr. 261 auch so darstellen lassen: 
(5) Xl -„ + 
Ух 
y + R 2 
d*J 
z x = z -f- R 2 
ds % ' 
264. Gleichungen zwischen den Richtungskosinus 
des begleitenden Dreikants. Für die Richtungskosinus 
der positiven Binormale wollen wir die Bezeichnungen X, y, v 
einführen. Die drei positiven Koordinatenachsen bilden als 
dann mit den drei positiven Kanten des begleitenden Drei 
kants Winkel, deren Kosinus die folgende Tafel angibt: 
X 
У 
z 
Tangente 
к 
ß 
r 
Hauptnormale 
l 
m 
n 
Binormale 
X 
У 
V 
1) Ist x die unabhängige Veränderliche, so sind (1) und (2) durch 
£ — x + y{\)- y) + z(b — *) = 0, У"(9 — У) + *"(а — —(1 + 2/ ,2 + г 2 ) = 0 
zu ersetzen, woraus die auf S. 249, Anm., gemachte Behauptung folgt. 
S er re t-Schaf f e rs, Iutegr.- u. Diff.-Rechn. I. 6. u. 7. Aufl. 28 [Й03 SOI-