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Kap. IX. Theorie der Raumkurven und Flächeu 
Hieraus geht eine Reibe von Beziehungen zwischen den 
Kosinus hervor. Zunächst ist: 
(1) a 2 -f ß 2 + y % = 1, l' 1 + ni* -f n 2 = 1, A 2 + fi 2 + v* = 1. 
Da die Kauten des Dreikants paarweise aufeinander senkrecht 
stehen, folgt ferner nach Nr. 252: 
(2) IX 4- mp + wv = 0, Xa -f fi/3 + vy = 0, aZ + /3m-|-y« = 0. 
Das begleitende Dreikant können wir nun aber auch als 
ein neues Kreuz von Koordinatenachsen auffas3eu. In ihm 
haben die alten Achsen die in der Tafel in den Heilten ange 
gebenen Richtungskosinus. Also ist zunächst: 
(3) a 2 + Z 2 + A 2 = 1, ß* + m 2 + u s = 1, f + n* + v 2 = 1, 
und da die alten Achsen paarweise zueinander senkrecht sind 
folgt auch: 
(4) ßy + mn -pfiv = 0, ya -f nl-\- vX — 0, aß -j- Im -f Ag = 0. 
Ziehen wir durch den Anfangspunkt 0 die Parallelen OM, 
OM, und 0M 2 zur positiven Tangente, Haupt- und Binormale 
und geben wir den Parallelen die Länge Eins, so entsteht ein 
Tetraeder OMM,M 2 , dessen Volumen gleich einem Sechstel ist. 
Nach einem bekannten Satze der analytischen Geometrie ist das 
Volumen andererseits gleich einem Sechstel der Determinante 
der Koordinaten von M, M,, M ; . Diese Koordinaten sind die 
in der Tafel angegebenen Richtungskosinus. Daher ist, weil 
OM, OM, und OM 2 nach Nr. 262 überdies gerade so wie die 
drei positiven Koordinatenachsen gegeneinander orientiert sind: 
( 5 ) 
« ß r 
l m n 
X fi v 
- + 1. 
Die zweite Gleichung (2), die erste Gleichung (2) und 
die dritte Gleichung (1) können wir als drei in A, fi, v lineare 
Gleichungen auffassen, deren Koeffizienten gerade diese Deter 
minante bilden. Ihre Auflösung nach A, ft, v ergibt daher: 
(6) X = ßn—ym, g = yl — an, v — can — ßl. 
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