§ 3. Krümmung einer Raumkurve 
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Das Lot 21'Q trifft die Fläche (2) in dem zu 21 benach 
barten Punkte M x , dessen Koordinaten x + A x x, y -f- A x y, 
z + A x z seien. Einerseits muß dann 
(6) F(x + A x x, y + A x y, 8 + 410) = 0 
sein, weil der Punkt M x auf der Fläche liegen soll, und an 
dererseits muß 211 21' zur Normale von 21 parallel sein, d. h. 
die Koordinatendifferenzen von M x und 21', nämlich A x x — Ax 
A x y — Ay, A x z — Az, müssen proportional zu X, Y, Z sein. 
Wir setzen deshalb: 
A x x — Ax = vX, A x y — Ay = vY, A x z — Az = vZ 
und erhalten alsdann aus (6): 
(7) F(x + Ax + vX, y + Ay + vY, z + Az + vZ) = 0 
als Bedingung für die Hilfsgröße v. Das Quadrat der Strecke 
M X M' ist: 
(8) M X M' 2 = (A x x- Ax) 2 + (z/jy - Ayf + (A x z- Az) 2 
= v 2 (X 2 + Y 2 + Z 2 ) = v\ 
Wenn nun die Funktion cp mit ihrer Ableitung erster 
Ordnung in einer Umgehung des zu 21 gehörigen Wertes t be 
stimmte endliche Werte hat, ist nach dem Mittelwertsatze 3 von 
Nr. 28: 
Ax = cp(t + Al) — cp(t) = Atcp {t + 6 x At), 
wo 9 X zwischen Null und Eins liegt. Entsprechend wird: 
Ay = Atx(t + 6 2 At), Az = Atc\) (t + d 3 At), 
falls für x und t dieselben Voraussetzungen gemacht werden, 
indem auch 6 2 und 0 3 zwischen Null und Eins liegen. Also ist: 
YAz - ZAy = At[Y+(t + 6 3 At) - Z%(t + 6 2 At)]. 
Entsprechende Werte gehen für ZAx— XAz und XAy— YAx 
hervor. Wenn cp (t), %(t) und +(t) an der Stelle t überdies 
stetig sind, folgt hieraus, daß wenigstens eine der drei Diffe 
renzen YAz — ZAy, ZAx— XAz und XAy— YAx mit 
At in gerade erster Ordnung verschwindet, wenn nicht alle 
drei Differenzen Y+ — Z%, Zcp' — Xtp' und X% — Ycp' an 
der Stelle t gleich Null sind. Sie können jedoch nur dann 
alle drei gleich Null sein, wenn entweder cp', + alle 
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