§ 3. Krümmung einer Raumkurve 
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mit v gerade in erster Ordnung gleich Null wird. Da nun v 
die Strecke Mf M' ist, folgt somit: 
Satz 3: Wird eine Fläche F(x, y, z) — 0 in einem Punkte 
M oder (x, y, z) von einer Kurve 
X = <P (ß)i y = liß), ¿> = t (t) 
berührt und gehört zum Berührungspunkte der Wert t der un 
abhängigen Veränderlichen, so ist die Berührung von gerade 
r ter Ordnung, wenn der Ausdruck 
F(x + Ax, y + Ay, z + Az), 
worin 
x 4“ A x — cp (t -j- At), y + Ay = %(t -f At), z + Az = ip(t + At) 
ist, mit At gerade in der (r -j- l) ten Ordnung verschwindet. Da 
bei wird vorausgesetzt, daß der Punkt M weder für die Fläche 
noch für die Kurve singidär sei, die Funktionen cp, %, ^ 
nebst ihren Ableitungen erster Ordnung in einer Umgebung des 
betrachteten Wertes t stetig seien und außerdem auch die Funk 
tion F nebst ihren partiellen Ableitungen erster Ordnung in einer 
Umgebung des zu M gehörigen Wertsystems x, y, z stetig sei. 
Will man den Satz an wenden, so muß man für den Aus 
druck F(x -f- Ax, y -f- Ay, z -f- Az) die Taylorsche Entwick 
lung benutzen, d. h. yoraussetzen, daß F nebst den Ableitungen 
bis zur (r -f l) ten Ordnung in der Umgebung der Stelle M 
stetig sei. Alsdann ergibt sich nach Satz 28 von Nr. 137, da 
F an der Stelle M verschwindet: 
F(x -f Ax, y + Ay, z -f- Az) = ^ {F x Ax + F y Ay + F t Az) 
+ 2i (+ F y^y + F * /jz } 2 H 
(10) 
x+OJx, y^eJy, 
wobei die geschweiften Klammern so zu verstehen sind, wie 
es in Nr. 137 auseirfandergesetzt wurde. Ferner werde voraus 
gesetzt, daß cp, x, i n der Umgebung von t nebst ihren Ab 
leitungen bis zur (r l) ten Ordnung bestimmte endliche Werte 
haben, so daß nach Satz 19 von Nr. 112: 
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